Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Метод Хілла

В 1886 році [85] Г. В. Хілл запропонував оригінальний метод розв’язування диференціального рівняння

Розв’язок відшукувався у вигляді ряду

Для коефіцієнтів було побудовано нескінченну систему лінійних рівнянь алгебраїчних рівнянь. Прирівнюючи визначник цієї системи до нуля, Г. В. Хілл дістав умови існування нульового розв’язку нескінченної однорідної системи у вигляді трансцендентного рівняння

де — значення нескінченного визначника системи при Величину Г. В. Хілл обчислив, розклавши нескінченний визначник у ряд за степенями коефіцієнтів . Обґрунтування застосовності методу Хілла дав А. Пуанкаре [62], який ввів поняття нормального нескінченного визначника. Узагальнення методу Хілла для одного рівняння n-го порядку було дане Х. Котом. Х. Кот показав збіжність нескінченного визначника в одному випадку, коли такий визначник не був нормальним. М. Є. Кочин застосував метод Хілла до знаходження областей нестійкості системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Він вказав також на оригінальні способи перетворення нескінченних визначників. У праці А. Ерделі метод Хілла було використано для побудови частинного розв’язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння другого порядку. У праці Г. В. Бондаренка дано різні приклади використання методу Хілла для розв’язування інженерних задач. У працях Ж. Леметра і О. Кодара, В. А. Тафта, Дж. Флекенштейна, В. Р. Фута, Х. Посит­ського і Дж. Дж. Шлайда метод Хілла застосовувався до систем рівнянь другого порядку. Класичний напрямок із застосування методу Хілла до рівняння другого порядку завершується працями А. П. Проскурова, який знайшов аналітичний вираз для перших коефіцієнтів розкладу визначника Хілла за степенями показника Перетворення нескінченних визначників виконувалось у праці В. Магнуса і С. Вінклера.

Іншим напрямом розвитку методу Хілла є безпосередній розгляд нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, яка наближено перетворюється на скінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Чим менше гармонік вміщують коефіцієнти диференціальних рівнянь, тим простішою виявляється нескінченна система. К. Клоттер і Т. Котовський побудували об’ємну модель областей нестійкості для рівняння

Аналогічне рівняння розглядали Г. Хорвей [86], а потім Ф. Ф. Зубова, результати якої опубліковано у книзі [45]. В. В. Бо­лотін [78] використовував наближений спосіб розв’язування нескінченної системи лінійних диференціальних рівнянь для відшукання областей нестійкості параметрично збуджуваних пружних систем. Нескінченна система відсікалася і наближено зво­дилася до скінченної системи. Умова існування нульового розв’язку нескінченної системи однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь замінювалося умовою існування нульового розв’язку скінченної системи. У деяких випадках цей прийом дозволив легко визначити межі області нестійкості. На недоліки цього способу вказав В. А. Якубович у своїй докторській дисертації. І. Патрі [88] застосував метод Хілла для розв’язку диференціального рівняння із синусоїдальними коефіцієнтами

Для цього рівняння можна перетворити визначник Хілла на неперервний дріб. Ще раніше аналогічні перетворення використовував Е. Л. Айнс [1] для побудови областей нестійкості рівняння Матьє і Мак-Лахнан [55] для розв’язування рівняння

Це саме рівняння розглядалося аналогічним способом Е. Кем­бі [82].

Узагальнення цих результатів для системи рівнянь з простими гармонічними коефіцієнтами дав К. Г. Валєєв [21]. Зображення розв’язку було побудовано за допомогою неперервних матричних дробів. Інші способи перетворення нескінченних визначників на скінченні, використання цих перетворень для відшукання характеристичних показників і побудови областей нестійкості наведено у працях К. Г. Валєєва [12, 13].

Далі розглядається деякий клас систем лінійних диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами, які за допомогою перетворення Лапласа зводяться до системи лінійних різницевих рівнянь. Останні розв’язуються за методом Хілла — методом нескінченних визначників.

1. Розглянемо систему ЛДР з періодичними коефіцієнтами виду

(4.85)

де т-вимірний вектор, — уявне число,

— сталі комплексні матриці. При цьому

Шукаємо розв’язок системи (4.85) з початковими умовами

(4.86)

При цьому припускаємо, що для існує зображення за Лапласом регулярне і обмежене при

Застосовуючи до системи рівнянь (4.85) перетворення Лапласа при і припускаючи що дістанемо для систему лінійних різницевих рівнянь

, (4.87)

де

(4.88)

Шукаємо розв’язок системи різницевих рівнянь (4.87), регулярний та обмежений при Таким розв’язком є, наприклад, саме зображення для Підставивши в (4.87) замість і поділивши на дістанемо разом з (4.87) нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно ком­понентів :

Домовимося, що при

Матриця визначника системи (4.88) є квазіматрицею з квазіелементами-матрицями

Сам визначник має вигляд

. (4.89)

У [13] доведено теорему.

 Теорема. Визначник і алгебраїчні доповнення елементів стовпців, що проходять через збігаються до цілих функцій які в сукупності обмежені на скінченній області комплексного змінного При ця збіжність абсолютна і рівномірна.

Зауваження. Визначник і алгебраїчні доповнення елементів стовпців, що проходять через будуть цілими функціями коефіцієнтів Далі припускаємо, що область вибрано так, що вектори у сукупності обмежені при Припускаємо, що при

Розглянемо послідовність визначників що містить рядків і стовпців, матриці яких вирізані з матриці визначника так, що квазіелемент міститься в центрі визначників

Будемо послідовно розв’язувати системи рівнянь, узявши із (4.87), (4.88) з визначником при невідомих за формулами Крамера. При цьому перенесено члени, що залишились з невідомими у праву частину.

Згідно з теоремою при дістанемо єдиний розв’язок, обмежений при для компонентів у вигляді відношення нескінченних визначників до

Розкриваючи формально ці визначники за елементами стовпців з компонентами дістанемо розв’язок системи різницевих рівнянь (4.87) у вигляді ряду

(4.90)

де елементами матриць є цілі функції Із властивостей розв’язків системи (4.85) можна встановити, що ряд (4.90) збігається при і справді являє собою розв’язок системи (4.87).

3. Розглянемо лінійне диференціальне рівняння із синусоїдальними коефіцієнтами

(4.91)

де — комплексні сталі числа,

— регулярна та обмежена функція при Шукаємо зображення розв’язку з початковими умовами

(4.92)

Припускаємо, що виконується умова

(4.93)

Введемо позначення

(4.94)

Різницеве рівняння для набирає вигляду

(4.95)

Складаючи відношення нескінченних визначників і розкриваючи їх, дістаємо розв’язок рівняння (7) у вигляді ряду

де і — неперервні дроби:

(4.97)

При виконанні умови (4.93) неперервні дроби (4.97) збігаються на всій площині комплексного змінного до мероморфних функцій. Подання зображення для розв’язку у вигляді (4.96), (4.97) дуже зручне для чисельного розв’язування рівняння (4.91) у випадку, коли є сума членів виду Зауважимо, що всі корені рівняння є характеристичними.

Для характеристичних показників розв’язків маємо рівняння

(4.98)

Зауваження. Для рівняння Матьє і для рівняння Патрі, рівняння виду (4.98) дістав Айнс [84].

Приклад. Знайти умови стійкості розв’язків рівняння Матьє

(4.99)

· Характеристичні показники розв’язків рівняння (4.99) можна дістати з рівняння

де (4.100)

На межі області нестійкості один із характеристичних показників дорівнює Тому із (4.100) дістанемо рівняння -й області нестійкості розв’язків рівняння (4.99):

Наприклад, при умова стійкості має вигляд

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить