Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Метод розв’язування лінійних диференціальних рівнянь із синусоїдальними коефіцієнтами

1. Розглянемо системи диференціальних рівнянь виду

(4.47)

де — сталі комплексні матриці розміру ( — дійсне число). Нехай

. (4.48)

Шукаємо при розв’язок системи рівнянь (4.47) з початковими умовами при

(4.49)

Нехай зображенням вектора є вектор , компоненти якого регулярні та обмежені при Зокрема, припускаємо

(4.50)

де — сталі комплексні вектори; — цілі невід’ємні числа; — комплексні числа.

Позначимо

(4.51)

Нехай — зображення за Лапласом розв’язку системи (4.47) з початковими даними (4.49). Перемножуючи систему рівнянь (4.47) на та інтегруючи за від 0 до , дістаємо систему лінійних різницевих рівнянь для компонентів вектора :

(4.52)

2. Введемо деякі неперервні матричні дроби, за допомогою яких побудуємо розв’язок системи різницевих рівнянь (4.52):

(4.53)

де визначено в (4.51)

Підставляючи в (4.53) замість дістаємо вираз через . Виражаючи у співвідношенні (4.53) через потім через і т. д., знаходимо для вираз, що нагадує звичайний неперервний дріб, але в матричній формі.

У [12] доведено теорему.

 Теорема. При виконанні умов (4.48) матричний неперервний дріб для збігається на всій площині комплексного змінного до мероморфної однорідної матриці-функції від .

3. Побудуємо розв’язок системи лінійних рівнянь (4.52) за допомогою матриць Для цього введемо допоміжні матриці-функції :

(4.54)

Справджується теорема.

 Теорема. При виконанні умов (4.48) матричний ряд

(4.55)

збігається при і є розв’язком системи лінійних різницевих рівнянь (4.52).

Зауваження. Безпосередньо з поданих розв’язків у вигляді (4.52) можна показати, що в ряді (4.55) матричні коефіцієнти при можуть мати полюси лише в точках

де — характеристичні показники розв’язків системи (4.47). При цьому порядок полюсів не вищий за кратність відповідного характеристичного показника.

4. Побудуємо частинний розв’язок неоднорідної системи рівнянь (4.47) у випадку, коли має вигляд (4.50), а також дано рівняння для визначення характеристичних показників розв’язків системи рівнянь (4.47).

Зокрема, коли неоднорідна частина системи рівнянь (4.47) має вигляд (4.50), формулу для оберненого переходу від зображення до оригіналу можна записати так:

(4.56)

де — полюси вектора Ці полюси можуть міститися лише в точках і точках

При виконанні умов (4.48) можна довести, що ряд (4.56) збігається абсолютно в деякій смузі вздовж дійсної осі . При дійсних скінченних значеннях ряд (4.56) збіжний абсолютно та рівномірно. Для побудови розв’язку достатньо знайти полюси і головні частини лоранівського розкладу у полюсах. У багатьох задачах становить інтерес лише значення вимушеного розв’язку, бо часто заздалегідь відомо, що вільні коливання загасають. Для знаходження частинного розв’язку достатньо у формулі (4.56) узяти суму за полюсами лише в точках .

Приклад. Знайти частинний розв’язок системи диференціальних рівнянь

(4.57)

¨ У наших позначеннях маємо:


.

Із (4.50) дістаємо:

Припустимо, що характеристичні показники відмінні від точок Із ряду (4.55) дістанемо, що полюс у точці може мати лише член . При цьому Вважаючи знаходимо із формули (4.53) і потім із формули (4.54) Далі, з розкладу (4.55) випливає, що

і т. ін.;

обчислюються за формулою (4.54). Практично їх можна знайти у процесі обчислення

Після арифметичних обчислень дістанемо частинний розв’я­зок рівняння (4.57):

де

Із зауваження до попередньої теореми і ряду (4.55) випливає сформульована далі теорема.

 Теорема. Нулі рівняння

(4.58)

є характеристичними показниками розв’язків системи рівнянь (4.47).

При цьому характеристичні показники визначено з точністю до доданка де — ціле число.

Приклад. Скласти рівняння (4.58) для характеристичних показників розв’язків рівняння Матьє:

¨ У наших позначеннях:

Із (4.54), (4.55) дістанемо

Приклад. Знайти з точністю до характеристичні показники розв’язків системи диференціальних рівнянь:

¨ У наших позначеннях маємо:

Рівняння (4.58) при цьому має вигляд

(4.59)

Знайдемо корінь рівняння (4.59), близький до при малих значеннях . Припускаємо, що виконується умова

. (4.60)

Тоді можна встановити, що неперервні дроби для збігаються при до регулярних від матриць. Перші члени їх розкладу за з точністю до виписано у формулі (4.59). Розв’язуючи рівняння (4.59) при дістаємо наближені значення характеристичних показників

(4.61)

Зауваження. Формули (4.61) відбивають відмінність векторного диференціального рівняння виду

де — дійсні матриці,

від скалярного випадку.

Коли виконується умова (4.60), а малі, характеристичні показники збігають з уявної осі і відбувається параметричний резонанс. Області нестійкості на площині параметрів прилягають до всієї осі за винятком зліченної кількості точок, де для не виконується умова (4.60). У скалярному випадку рівняння (4.60) області нестійкості на площині можуть прилягати до осі лише у зліченній кількості точок.

5. Розглянемо спосіб побудови розв’язку системи (4.47) з неоднорідною частиною виду (4.50), що задовольняє (4.49).

Головну частину лоранівського розкладу мероморфної вектор-функції (матриці) у точці будемо позначати через Щоб застосовувати формулу (4.56), достатньо знати де — полюси . Ряд (4.55) дозволяє знайти у точках

Положення інших полюсів, точок , знайдемо за допомогою рівняння (4.58). Нехай знайдено будь-який характеристичний показник Припустимо, що всі характеристичні показники відмінні від чисел . Ряд (4.55) дозволяє обчислити але для обчислення ряд (4.55) придатний лише для небагатьох , бо лише скінченна кількість спільних множників у членів ряду може мати полюси в скінченній області Як правило, полюс у точках має лише матриця . Матриці обчислюються у процесі знаходження характеристичного показника Для зручності обчислень встановлено деякі допоміжні співвідношення між які дозволяють знаходити знаючи

(4.62)

Приклад. Знайти частинний розв’язок рівняння

(4.63)

¨ У наших позначеннях


Рівняння в різницях набирає вигляду

Перед усім із ряду (4.55) знайдемо в точках Для цього знайдемо Узявши , із (4.54) знаходимо:

Остаточно з формули (4.56) дістанемо розв’язок який відповідає полюсам, що містяться в точках

Далі визначаємо характеристичні показники з рівняння (4.58), яке для даного прикладу набирає вигляду:

(4.64)

Із (4.63) знаходимо

Для того щоб знайти обчислимо спочатку

(4.65)

Підставляючи в (4.65) знаходимо

Тоді з ряду (4.55) маємо:

Із формул (4.62) випливає, що

Розв’язок рівняння (4.63) буде дійсним, тому

Записуючи остаточно розв’язок у дійсній формі, дістаємо:

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить