Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

 Метод S-рядів

У [12] розв’язок системи різницевих рівнянь (4.17), (4.32) будується і аналітично продовжується за допомогою спеціальних матриць-функцій , які визначаються матричними рядами.

Означення. Нехай — цілі числа. Матриці функції

(4.37)

називаються S-рядами.

Штрих у сумі означає, що беруться ті і тільки ті доданки, в яких індекси задовольняють додаткові умови:

1. ;

2. ;

3. . (4.38)

Матриці визначені в (4.31). Якщо при будь-якому не існує такої сукупності індексів , яка задовольняє умови 1, 2, 3, то

Із (4.36) випливає лема:

 Лема 5. Ряди (4.37), що визначають матрицю-функцію , збігаються рівномірно та абсолютно при , якщо виконуються умови

Означення. Трансцендентне рівняння

(4.39)

називається породжувальним для системи різницевих рівнянь (4.28).

Нехай — корені рівняння (4.39), — деяка скінченна замкнена область комплексної площини.

У будь-якій півплощині може бути лише скінченна кількість нулів, бо рівняння (4.39) при достатньо великому згід­но з асимптотичною оцінкою

не може мати нулів.

Введемо позначення

.

Виокремимо ті , при яких точки лежать в області і позначимо їх .

 Лема 6. Якщо то при достатньо малих ряд (4.37) для абсолютно і рівномірно збігається при до регулярної матриці з як завгодно малою нормою.

Властивості S-рядів

Властивість 1. Нехай s — ціле число. Тоді

.

Властивість 2. Якщо серед чисел і є рівні, то з огляду на неможливість виконання умов 2 і 3 в означенні S-рядів маємо:

.

Властивість 3. Нехай — ціле число, Тоді виконується співвідношення

.

Властивість 4. Справджується співвідношення

Властивість 5. Нехай Тоді

Властивість 6. Нехай Тоді

Властивість 7. Нехай Тоді

Властивість 8. Нехай тоді

 Лема 7. Властивості 1—8 дають змогу продовжити аналітично матрицю-функцію у D — скінченну область комплексної площини, тобто за допомогою скінченої кількості дій виразити задану матрицю-функцію через інші матриці-функції, для яких ряд (4.37) збіжний в області D.

З урахуванням викладеного дістаємо лему:

 Лема 8. Розв’язком системи різницевих рівнянь (4.32) є ряд

(4.40)

З урахуванням властивостей 1—8 (4.40) можна подати у вигляді

(4.41)

(4.42)

Означення. Розв’язок системи лінійних різницевих рівнянь (4.25) у вигляді (4.40), (4.41), (4.42) називатимемо відповідно першою, другою та третьою формою розв’язків системи різницевих рівнянь.

Важливим для подальших досліджень є питання про розподіл полюсів .

 Теорема. Зображення фундаментальної матриці розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами продовжується на всю площину комплексного змінного і є мероморфною функцією, полюси якої розміщені в точках

(4.43)

де — характеристичні показники розв’язків системи рівнянь (4.32). При кожному зафіксованому полюси мають обмежений порядок для всіх . Точки задовольняють умови при .

Для однорідної системи не має особливостей при скінченному значенні , тому з урахуванням властивостей 7, 8 із рівняння (4.32) для знаходження полюсів маємо рівняння

(4.44)

 Лема 9. Нулі рівняння (4.44) є характеристичними показниками розв’язків системи диференціальних рівнянь (4.25).

Формула (4.44) дає змогу легко скласти рівняння для знаходження характеристичних показників квазістаціонарної системи виду

(4.45)

у випадку, коли характеристичні показники при не різняться на доданок виду :

Приклад. Знайдемо рівняння межі нульової області стійкості для рівняння Матьє

¨ У наших позначеннях


Рівняння (4.44) набирає вигляду

Для характеристичних показників маємо рівняння

На межі області нестійкості . Отже, рівняння межі

Розв’язуючи це рівняння відносно , дістаємо розклад

Зауваження. Вже після створення методу -рядів виявилося, що він є модифікацією методу Хілла [85] і може тлумачитися як спосіб перетворення нескінченних визначників Хілла на матричні ланцюгові дроби з розширенням області збіжності.

Зауваження. Послідовне застосування властивостей 1—8 дає змогу перетворювати матриці на аналітичні вирази, які можна назвати ланцюговими матричними дробами. У випадку, коли

.

Ці дроби перетворюються на матричні неперервні дроби.
У скалярному випадку одного диференціального рівняння приходимо до звичайних ланцюгових неперервних дробів.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить