Операційне числення та його застосування
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Матриця Гріна

Розглянемо неоднорідну систему лінійних диференціальних рівнянь

, (3.8)

припускаючи, що матриця А не має власних чисел з нульовою дійсною частиною і

. (3.9)

Тоді система рівнянь (2.57) має частинні розв’язки виду

, (3.10)

де позначено

. (3.11)

Матриця називається матрицею Гріна.

Приклад. Розглянемо систему рівнянь (2.57), де

, , .

Щоб знайти матрицю Гріна (2.60), розкладемо на найпростіші дроби матрицю:

Тоді матриця Гріна подається так:

, , ,

а формула (2.54) набирає вигляду

.

Цей розв’язок можна записати також інакше:

.

Матриці , є проекторами матриці А і задовольняють відомі співвідношення:

, , .

Внаслідок обмеження (2.58) невласні інтеграли збіжні.

Диференціюючи , знаходимо систему рівнянь

.

У загальному випадку матриця Гріна має вигляд

, . (3.12)

Тут — проектор матриці А, що відповідає власним числам матриці А з від’ємною дійсною частиною; — проектор матриці А, що відповідає власним числам матриці А з додатною дійсною частиною [16]:

, . (3.13)

контур охоплює власні числа матриці А у лівій півплощині, а контур охоплює власні числа матриці А у правій півплощині (рис. 3.1).

Рис. 3.1

При маємо

,

.

Звідси знаходимо формули для проекторів:

, . (3.14)

Проектори , задовольняють рівняння:

, , , , . (3.15)

Означення. Параметричною матрицею Гріна називається матриця

. (3.16)

Матриця існує, якщо на прямій немає власних чисел матриці А.

Нехай матриця регулярна у смузі , . При цьому виконуються оцінки: , .

Якщо вектор задовольняє умови збіжності

,

то система неоднорідних рівнянь (2.57) має частинні розв’язки

.

Дамо узагальнення параметричної матриці Гріна для системи диференціальних рівнянь виду (2.52):

. (3.17)

Визначимо параметричну матрицю Гріна за формулою

. (3.18)

Припускаємо, що на прямій нема полюсів матриці , тобто однорідна система рівнянь (2.66) при не має характеристичних показників з дійсною частиною, що дорівнює s. Нехай контур охоплює всі полюси матриці , що лежать ліворуч від прямої , а контур охоплює всі полюси матриці , що лежать праворуч від прямої . При цьому для матриці дістаємо інший вираз:

. (3.19)

Нехай і у смузі нема полюсів матриці . У цьому випадку неоднорідна система рівнянь (2.66) з неоднорідною частиною, що задовольняє умови

, , (3.20)

має частинний розв’язок

. (3.21)

З формули

(3.22)

оцінок (2.69) і нерівностей

,

випливає збіжність невласних інтегралів у формулах (2.70).

Приклад. Знайдемо параметричну функцію Гріна для диференціального рівняння

, .

За формулою (2.67) маємо:

, .

Розкладемо раціональний дріб на найпростіші дроби:

,

а далі за формулою (2.68) знайдемо параметричну функцію Гріна:

, .

Формула (2.70) для частинного розв’язку набирає вигляду

, .

Для інших значень s дістаємо аналогічні формули

, ,
, ,
, .

Розглянемо частинний випадок, коли вектор у системі (2.66) є 2p-періодичним.

Розв’язок виду (2.70) можна подати так:

Матрицю

називатимемо періодичною матрицею Гріна, оскільки

.

Частинний 2p-періодичний розв’язок системи (2.66) можна подати у вигляді

. (3.23)

Для матриці можна знайти інший вираз, розкладаючи в ряд Фур’є:

,
, .

Застосовуючи ці формули, знаходимо 2p-періодичний розв’язок системи (2.60) у вигляді (2.71), де

. (3.24)

З формули (2.72) випливає, що періодична матриця Гріна існує, якщо існують матриці , тобто характеристичне рівняння системи (2.66) не має коренів виду

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить