Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.50 (1 Голос)

Лінійні різницеві рівняння

Перетворення Лапласа ефективно застосовується для розв’я­зування і дослідження різницевих рівнянь. На перетворенні Лапласа ґрунтується z-перетворення.

Розв’язування різницевих рівнянь

Шукаємо розв’язок різницевого рівняння

(2.55)

з відомими початковими умовами . Щоб скористатися перетворенням Лапласа, перейдемо від послідовності до ступінчастої функції

(2.56)

Функція стала на проміжках і дорівнює yk. Аналогічно візьмемо функцію

(2.57)

Рівняння (2.82) для послідовності можна переписати як рівняння для функції :

(2.58)

Нехай — зображення функції :

. (2.59)

Знайдемо зображення функції :

Використовуючи ці співвідношення, перейдемо від рівняння (2.85) для функції до відповідного рівняння для зображення :

. (2.60)

Тут — зображення функції

. (2.61)

Введемо для скорочення запису позначення

. (2.62)

Рівняння (2.87) має розв’язок

. (2.63)

Порівнюючи ці розв’язки з формулою (2.86) бачимо, що значення можна знайти, розкладаючи праву частину у формулі (2.63) за оберненими степенями z. При цьому можна попередньо розкласти раціональний дріб на найпростіші дроби.

Приклад. Знайдемо розв’язок різницевого рівняння

.

¨ Для зображення знаходимо рівняння

звідки

.

Розкладемо праву частину в ряд за оберненими степенями z:

Звідси знаходимо розв’язок різницевого рівняння:

,

Аналогічно можна знайти розв’язок системи лінійних різницевих рівнянь

(2.64)

з відомими початковими значеннями .

Введемо вектор , який залежить від аргументу t, що неперервно змінюється:

та із зображенням

яке задовольняє систему лінійних алгебраїчних рівнянь

. (2.65)

Тут — зображення вектора

.

Знаючи зображення

, (2.66)

можна знайти послідовність векторів .

2.3.2. z-перетворення

Для простоти запису можна не враховувати один і той самий множник у формулах (2.86), (2.90) і відразу ставити згідно з послідовністю функцію комплексного змінного z.

. (2.67)

Ця відповідність взаємно однозначна і називається z-перет­воренням послідовності . Це перетворення зручно для розв’язування різницевих рівнянь виду (2.82). Для цього кожне з рівнянь (2.82) множимо на z-k (k = 0, 1, 2, … ) і здобуті рівняння додаємо. Приходимо до рівняння для функції :

. (2.68)

З рівняння знаходимо і, розкладаючи за оберненими степенями z, знаходимо .

Приклад. Знайдемо розв’язок різницевого рівняння

.

¨ Помножимо кожне рівняння на z-k і додамо здобуті рівняння. При цьому дістанемо одне рівняння для :

.

Функцію розкладаємо за оберненими степенями z:

.

Остаточно знаходимо розв’язок, який подається через :

.

Приклад. Розв’яжемо неоднорідне різницеве рівняння

.

¨ Помножимо кожне рівняння на і додамо їх. Прийдемо до рівняння

.

Використовуємо розклад раціонального дробу на найпростіші

Звідси находимо розв’язок

.

Аналогічне z-перетворення можна визначити і для довільної функції , заданої при :

.

Функцію можна визначити за допомогою інтеграла

ще — d-функція Дірака. Щоб можна було найти функцію при всіх за її зображенням, використовується модифіковане z-перетворення:

. (2.69)

Якщо — зображення за Лапласом функції , то функцію можна виразити через і навпаки: можна виразити через функцію . Для цього подамо за допомогою ряду Фур’є періодичну функцію :

.

З формули для

знайдемо вираз для через зображення :

. (2.70)

При маємо

. (2.71)

Функція періодично залежить від t з періодом h.

2.3.3. Чисельне дослідження стійкості розв’язків лінійних диференціальних рівнянь

Досліджується стійкість розв’язків системи лінійних диферен­ціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

. (2.72)

З’являється думка про чисельне інтегрування системи за допомогою чисельного методу типу Адамса

При цьому приходимо до системи різницевих рівнянь

(2.73)

з деякими початковими значеннями .

Якщо будь-який чисельний розв’язок при , то можна припустити, що нульовий розв’язок системи (2.72) асимптотично стійкий. Якщо є необмежений розв’язок системи (2.73), то можна припустити нестійкість розв’язків системи (2.72).

Перевіримо правильність цього інтуїтивного припущення за допомогою аналітичних розрахунків.

Введемо ступінчасту вектор-функцію

.

Для зображення знаходимо вираз

. (2.74)

Асимптотична поведінка оригіналу при визначається коренями рівняння

(2.75)

Якщо — власні числа матриці А, то характеристичне рівняння (2.83) може бути записане у вигляді системи рівнянь

. (2.76)

З цих неявних рівнянь можна визначити характеристичні показники розв’язків системи різницевих рівнянь (2.100). Функцію , яку було названо функцією методу, упровадив в обчислювальну математику Ю. В. Ракитський [63]. Заданим характеристичним показникам системи диференціальних рівнянь (2.72) відповідають характеристичні показники pj системи різницевих рівнянь (2.73).

Припускаємо, що крок інтегрування достатньо малий. Якщо виконано нерівність

,

то зі стійкості розв’язків системи диференціальних рівнянь (2.99) випливає стійкість розв’язків системи різницевих рівнянь [61]. Якщо виконується нерівність

,

то, навпаки, зі стійкості розв’язків системи різницевих рівнянь (2.100) випливає стійкість розв’язків системи диференціальних рівнянь (2.99).

Приклад. Для методу Ейлера

дістаємо функцію

.

Якщо система диференціальних рівнянь (2.99) має характеристичний показник іw, то відповідна система різницевих рівнянь

(2.77)

має характеристичний показник

.

Отже, стійким коливальним розв’язкам системи диференціальних рівнянь (2.99) відповідають нестійкі коливальні чисельні розв’язки (2.104) за методом Ейлера. При цьому

.

Розглянемо інтерполяційний різницевий метод

(2.78)

який має функцію методу

.

Тому в разі чисельного розв’язування за методом (2.105) стійкість розв’язків системи диференціальних рівнянь (2.99) точно відповідає при достатньо малих стійкості чисельного розв’язку системи різницевих рівнянь

. (2.79)

Цю систему різницевих рівнянь можна спростити. Розв’я­зуючи відносно систему рівнянь, дістаємо систему різницевих рівнянь

.

Отже, приходимо до ще одного способу чисельного дослідження стійкості розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь (2.72) зі сталими коефіцієнтами. Цей спосіб запропонував В. І. Зубов [44, 45].

Для матриці А складається матриця В

і утворюється послідовність матриць :

.

Якщо при , то розв’язок системи диференціальних рівнянь (2.99) асимптотично стійкий.

Якщо при , то розв’язок системи (2.99) нестійкий.

Аналогічно можна дослідити застосовування методів типу Рунге—Кутта для досліджень стійкості розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь (2.72). Розглянемо один з найбільш популярних методів Рунге—Кутта розв’язування системи рівнянь

за формулами:

,
,

(2.80)

Для системи рівнянь (2.79) дістаємо формулу



Остаточно приходимо до системи різницевих рівнянь

, (2.81)

.

Власні числа b матриці В пов’язані з власними числами a матриці А формулою

Якщо , маємо:

.

Отже, при достатньо малих значеннях суто уявним харак­теристичним показникам розв’язків системи (2.99) відповідають мультиплікатори системи різницевих рівнянь (2.108), модулі яких менші за одиницю. Чисельний розв’язок за методом Рунге—Кутта (2.80) системи (2.72) буде асимптотично стійким.

2.3.4. Похибки різницевих методів
чисельного інтегрування

Виводяться формули для похибок чисельного розв’язування системи лінійних диференціальних рівнянь за допомогою різних методів чисельного інтегрування. Ці формули застосовні в разі великої кількості кроків. Подаються умови чисельних методів для знаходження областей асимптотичної стійкості. Результати цього розділу здобуто разом з Ю. В. Ракитським.

Розглядається різницевий метод чисельного інтегрування

, (2.82)

де — права частина інтегрованої системи диференціальних рівнянь

. (2.83)

Для коефіцієнтів виконано умови

.

Тут

.

Цифру називають степенем методу (2.82). Вважатимемо, що модулі всіх простих коренів рівняння

(2.84)

не перевищують одиниці, а модулі всіх кратних корнів рівняння (2.84) менші від одиниці.

Нехай — функція одиничного імпульсу завдовжки :

.

Розглянемо функції , що визначають розв’язки рівняння (2.82), подані за допомогою функції :

.

Рівняння, що зв’язує функції має вигляд

. (2.85)

Виконуємо перетворення Лапласа:

,

. (2.86)

Для функцій комплексного змінного рівняння (2.85) набирає вигляду

(2.87)

Тут — оператор зсуву аргументу на :

Розглянемо операторну функцію методу

. (2.88)

Рівняння (2.87) можна перетворити до вигляду

. (2.89)

Під час виведення рівняння (2.87) виконується співвідношення (2.85) при , яке можна записати у вигляді

.

Приклад. Для методу чисельного інтегрування

(2.90)

рівняння (2.88) набирає вигляду

.

Приклад. Для розв’язування лінійного диференціального рівняння першого порядку зі змінним коефіцієнтом

чисельним методом (2.90) дістаємо рівняння виду (2. 89):

.

Це функціональне рівняння можна розв’язати методом послідовних наближень.

Розглянемо тепер систему лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

. (2.91)

Позначимо

.

Розв’язуючи систему рівнянь (2.91) різницевим методом (2.82), дістаємо систему рівнянь

.

Якщо систему рівнянь (2.90) розв’язуємо за допомогою перетворення Лапласа, дістаємо систему рівнянь

.

Особливості зображення визначаються коренями рівнянь

,

які позначатимемо . Відповідно особливості зображення визначаються рівнянням

,

яке розпадається на рівнянь виду

.

Досліджуючи стійкість розв’язків системи різницевих рівнянь (2.109), що відповідають системі диференціальних рівнянь (2.91), потрібно розглядати лише корені рівняння (2.84)

,

що лежать у комплексній площині на одиничному колі.

Усі вони є за припущенням простими, і тому можна знайти розклад показників за степенями . З ряду Лагранжа знаходимо

(2.92)

.

Тут

.

З формули (2.92) визначаємо перші два члени розкладу

,

де

. (2.93)

Многочлени не мають спільних множників, тому . Розкладаючи операторну функцію методу за степенями , знаходимо

(2.94)

.

Нехай — суто уявне число; .

З формули (2.92) дістанемо для дійсних частин коренів вирази

,

де — перший відмінний від нуля коефіцієнт при парному степені у розкладі (2.94).

Розв’язки системи диференціальних рівнянь (2.91) міститимуться на межі області стійкості, а розв’язки відповідної системи різницевих рівнянь вигляду (2.82) будуть асимптотично стійкі при і нестійкі при .

У разі застосування різницевого методу (2.82) при для дослідження в першому наближенні асимптотичної стійкості розв’язків відповідно системи (2.91) і системи рівнянь (2.82) необхідно, щоб числа (2.93) були дійсними додатними.

Вважатимемо, що чисельний метод (2.82) задовольняє умову , якщо для (2.93) виконуються умови

. (2.95)

Приклад. Розглянемо різницевий метод чисельного інтегрування

. (2.96)

Зі співвідношення (2.88) маємо:

.

Знаходимо значення , з формул (2.93).

Умову не виконано. Чисельний метод не придатний для дослідження асимптотичної стійкості довільних систем диференціальних рівнянь (2.91).

Приклад. Для різницевого методу чисельного інтегрування

(2.97)

згідно з формулами (2.93) дістаємо вирази для :

, ,
.

Умову не виконано. Різницевий метод (2.97) не придатний для дослідження стійкості розв’язування довільних систем диференціальних рівнянь виду (2.91).

Зауваження. Чисельні методи (2.96), (2.97) придатні для дослідження стійкості розв’язків канонічних систем лінійних диференціальних рівнянь (2.91).

Коефіцієнти многочлена (2.88) звичайно беруть цілими числами. Звідси випливає, що рівняння (2.84) має коренів, які за модулем дорівнюють одиниці, де — індекс першого відмінного від нуля коефіцієнта . Решта коренів рівняння (2.84) дорівнюють нулю.

Умову можна пов’язати з конформними відображеннями. Розглянемо багатолисте відображення комплексної площини на площину :

. (2.98)

Межа одиничного круга відображається на площині у складний контур раз, що проходить через точку . Умову можна сформулювати так: крива зі збільшенням має проходити через точку знизу вгору, дотикаючись до уявної осі .

Приклад. Конформне відображення, відповідно методу (2.96) визначається формулою

,

близькою до формули перетворення М. Є. Жуковського [15]. Знаходимо

.

При точка крива проходить згори вниз. Умову не виконано.

Розглянемо питання про похибки різницевого методу.

Позначимо

. (2.99)

З формул для випливає, що локальну похибку різницевого методу на одному кроці можна знайти з формули

. (2.100)

Числа , визначають похибку методу на одному кроці.

Узявши в (2.100)

,

дістанемо зручну формулу для відшукання з многочленів :

. (2.101)

Приклад. Для чисельного методу (2.96) маємо:

.

Звідси випливає, що похибка методу (2.96) має вигляд:

.

Якщо задано многочлен і похибку на окремому кроці, то з формули (2.101) знаходимо вираз для многочлена за правилом

.

У разі, коли задано многочлен і потрібно забезпечити найменшу похибку методу (2.82) на окремому кроці, то в інтерполяційному методі необхідно як многочлен взяти перші членів розкладу

.

В екстраполяційному методі потрібно взяти ще -й член.

Зокрема, згідно з екстраполяційною та інтерполяційною формулами Адамса маємо:

(2.102)

(2.103)

де — символ зростаючої різниці .

Формули (2.102), (2.103) здобуто внаслідок наближення функцій

у точці рядом Тейлора. Наближення цих функцій іншими способами на інтервалі дає нові різницеві методи чисельного інтегрування. Зокрема, можна використовувати розклад за поліномами Чебишова.

Многочлен, що забезпечує найменшу похибку екстраполяційного методу в разі, коли задано многочлен , подається так:

. (2.104)

Виведемо просту асимптотичну при формулу для похибки різницевого методу (2.82) при великих значеннях . Припустимо, що , де — одинична матриця. Систему рівнянь (2.87) можна записати у вигляді

, (2.105)

де

.

Як початкові значення для візьмемо точний розв’язок

Для при дістаємо:

При цьому величини визначаються відповідно формулами (2.92), (2.94), (2.93); — корені рівняння (2.84), які за модулем дорівнюють одиниці.

Перший доданок у формулі (2.106) визначає неусувну похибку різницевого методу.

Щоб додаткові доданки у формулі для похибки (2.06) не зростали швидше, ніж основний, числа мають задовольняти умови:

.

Головний практичний висновок полягає в тому, що під час інтегрування й використання стійкості розв’язків системи (2.91) на великому інтервалі часу потрібно уникати застосування чисельних методів, в яких рівняння крім основного кореня має інші корні, що дорівнюють за модулем одиниці.

Лінійні різницеві рівняння - 0.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить