Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Лінійні диференціальні рівняння з періодичними коефіцієнтами

1. Нехай — мероморфна матриця в області D (це означає, що функції — мероморфні функції в області D).

Позначимо норму матриці

.

Під лишком матриці у точці розумітимемо матрицю лишків елементів і позначатимемо

Під перетворенням Лапласа матриці розумітимемо перетворення її елементів.

Багато властивостей перетворення Лапласа справджуються й для матриць.

Зауважимо, що коли — стала матриця розміру з власними числами , то

. (4.14)

Матриця може мати полюси лише в точках

2. Розглянемо однорідну систему диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами виду

(4.15)

де матриця — комплексна обмеженої варіації на

Тоді фундаментальна матриця розв’язків системи (4.15) має вигляд [49]

(4.16)

де — сталі матриці; власні числа матриці є характеристичними показниками розв’язків системи (4.15).

Якщо , то із (4.14) дістаємо

(4.17)

Порядок не вищий за [4], тому ряд (4.17) збіжний. Звідси випливає лема.

 Лема 1. Зображення фундаментальної матриці розв’язків системи (4.16) можна продовжити на всю площину комплексного змінного , причому воно є мероморфною матрицею , полюси якої можуть міститися лише в точках

де — характеристичні показники розв’язків системи рівнянь (4.15).

Нехай — уся площина комплексного змінного за винятком областей . Тоді маємо:

при для

Зі співвідношень (4.17) і (4.15) випливає, що коли полюси матриці містяться в лівій півлощині і лежать на осі то розв’язки системи (4.15) стійкі. У протилежному разі — нестійкі.

3. Знайдемо частинний розв’язок неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь

(4.18)

Відповідна однорідна система системи (4.18) збігається з (4.15). Нехай

Припустимо, що зображення існує і мероморфне при Зокрема, вважаємо, що

(4.19)

де — сталі матриці; — цілі невід’ємні числа; — комплексні числа. Тоді маємо [49]:

(4.20)

Матрицю можна подати у вигляді

. (4.21)

Підставляючи (4.21) і (4.16) в (4.20) дістаємо

За теоремою добутку та зсуву [53], враховуючи, що , маємо

(4.22)

де

(4.23)

 Лема 2. Матриці продовжуються на всю площину комплексного змінного і є мероморфними матрицями . Їхні полюси можуть міститися лише в точках В області

маємо

при

Для доведення достатньо зазначити, що

Лема 3. Якщо має вигляд (4.19), то зображення (4.22) для продовжується на всю площину комплексного змінного і є мероморфною матрицею, яка може мати полюси лише в точках і в точках

. (4.24)

В області


ряд збіжний абсолютно і рівномірно, причому

при для

4. Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь окремого вигляду

(4.25)

де — лінійні диференціальні оператори,

. (4.26)

Шукаємо розв’язок системи (4.25) з початковими умовами

(4.27)

Застосовуючи перетворення Лапласа до системи (4.25) при , дістаємо систему лінійних різницевих рівнянь для зображень розв’язків (4.25) з початковими даними (4.27):

(4.28)

де

(4.29)

Позначимо:

; (4.30)

(4.31)

З (4.29), (4.30), (4.26) і (4.31) випливає:

при при

Система різницевих рівнянь (4.28) набирає вигляду:

(4.32)

Справджується лема:

 Лема 4. Якщо де — розв’язок системи рівнянь (4.25) з початковими даними (4.27), то задовольняє систему лінійних різницевих рівнянь (4.28), (4.32), яка має єдиний голоморфний розв’язок, обмежений при де достатньо велике.

5. Зокрема, коли має вигляд (4.19), можна довести, що

при

Звідси маємо, що

(4.33)

де — достатньо велике. Із лем 2 і 3 дістаємо

(4.34)

де підсумовування відбувається за полюсами матриці . При скінченному у (4.25) ряд (4.34) збіжний у деякій смузі вздовж дійсної осі .

Розглянемо характеристичне рівняння для усередненої за часом системи рівнянь (4.25)

(4.35)

— корені цього рівняння.

1) При маємо систему лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Для її розв’язу­вання застосовують перетворення Лапласа.

2) Нехай . У цьому випадку потрібний розв’язок системи лінійних різницевих рівнянь можна дістати методом послідовних наближень із рекурентної формули

, (4.36)

так що при , де мероморфна матриця, причому її полюси можуть міститися лише в точках і при невід’ємних значеннях

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить