Операційне числення та його застосування
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 2.25 (2 Голоса)

ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО

В основу операційного числення покладено класичну теорію функцій комплексного змінного. Отже, у першому розділі викладено необхідні знання з теорії комплексного змінного для введення понять перетворення Лапласа та Фур’є.

 Комплексні числа

Історичні примітки

Поняття числа розвивалось у процесі розв’язування алгебраїч­них рівнянь. Натуральні числа 1, 2, 3, ... природним шляхом виникли в різних цивілізаціях. Множина натуральних чисел позначається буквою N.

Під час розв’язування рівнянь виду

з’явилися раціональні числа . Для потреб розв’язування рів­нянь виду

довелося ввести від’ємні числа.

У процесі розв’язування рівнянь виду

постала потреба в ірраціональних числах

Ірраціональне число, наприклад , не може бути подане раціональним числом виду .

Припустимо що — взаємно прості числа. Із рівності випливає, що число ділиться на 2, а отже, число р ділиться на 2. Візьмемо . Оскільки , то q також ділиться на 2. Прийшли до суперечності: обидва числа р та q діляться на 2 і не є взаємно простими. Цей очевидний нині факт викликав свого часу різко негативні емоції в багатьох математиків.

Множину всіх дійсних (раціональних та ірраціональних) чисел позначають R.

Під час розв’язування рівнянь виду

постала потреба застосовувати числа виду

Справді, скориставшись цим позначенням, можна знайти корені квадратного рівняння:

Числа виду дістали назву комплекс­них чисел. Множину комплексних чисел позначають С.

Великий німецький математик К. Гаусс довів, що будь-яке алгебраїчне рівняння виду

має принаймні один комплексний корінь, який у частинному випадку може бути дійсним. Це твердження правильне і при

У сучасній економічній теорії комплексні числа використовуються, наприклад, під час дослідження стійкості ринку.

2. Поняття комплексного числа

Означення. Комплексним числом називається число виду z = a + іb, де a, b ÎR, = –1.

Дійсне число а називається дійсною частиною комплексного числа z і позначається a= Rеz. Дійсне число b — називається уявною частиною комплексного числаz іпозначається b =Ітz. Число і називається уявною одиницею.

Означення. Два комплексні числа a + іb і с + іd називаються рівними, якщо а = с і b = d.

Означення. Два комплексні числа а іb і а – іb називаються комплексно-спряженими.

Комплексні числа зображають на числовій (так званій комплексній) площині, задаючи на ній прямокутну систему координат (рис. 1.1). Комплексному числу а + іb відповідає точка (аb), абсциса x якої дорівнює абсцисі комплексного числа
а (х = а), а ордината у — ординаті комплексного числа b (у = b).

Рис. 1.1

На зазначеній координатній площині комплексно-спряжені числа розміщені симетрично відносно дійсної осі (рис. 1.2).

Рис 1.2

3. Дії з комплексними числами.

Сума та різниця комплексних чисел

Означення. Сумою двох комплексних чисел а + іb і
с + іd називається комплексне число (а + с) + і(b + d).

Приклад. Виконати перетворення.

¨ 1. .

2. .

Означення. Різницею двох комплексних чисел і називається комплексне число .

Приклад. Виконати перетворення.

¨ 1. .

2. .

Добуток комплексних чисел

Означення. Добутком двох чисел а + іb і с + іd називається комплексне число

.

· . ·

Зауважимо, що на практиці не завжди користуються цією фор­мулою. Комплексні числа можна перемножати як двочлени.

Приклад. Виконати дії.

¨ 1. .

2. .

Частка комплексних чисел

Означення. Часткою двох комплексних чисел а + іb і
с + іd називається комплексне число

.

· . ·

Приклад. Виконати дії.

¨

Добування квадратного кореня

Нехай . Піднісши обидві частини цієї рівності до квадрата, дістанемо рівність

,

з якої випливає система рівнянь

Відшукуючи х і у, беремо до уваги, добуток ху має такий самий знак, як число b. Отже, дістаємо:

(1.1)

Приклад. Знайти .

¨.

Приклад. Розв’язати рівняння

.

¨ Знайдемо спочатку дискримінант

а далі — корені рівняння:

.

4. Тригонометрична форма комплексного числа z = a + ib

Положення точки на комплексній площині можна задати за допомогою полярної системи координат, яка визначається фіксованою точкою О (полюсом) і деяким променем, що виходить із цієї точки (полярною віссю). Нехай полюс збігається з початком декартової системи координат, а полярна вісь — із віссю Ох
(рис. 1.3). У цій системі координат положення кожної точки площини визначається двома числами: r — довжиною радіуса-вектора ОМ, який сполучає точку М із полюсом О, і j — полярним кутом, утвореним радіусом-вектором ОМ із полярною віссю.

Рис. 1.3

Кут j вважається додатним, якщо він відлічується в напрямі проти руху годинникової стрілки, і від’ємним — у протилежному випадку.

Для комплексного числа беремо

і позначаємо модуль комплексного числа, j = arg zаргумент комплексного числа.

Приклад. Виконати обчислення.

¨ 1)

2) ;

3)

Кожне відмінне від нуля комплексне число має нескінченну кількість аргументів, які відрізняються один від одного на .Для числа 0 аргумент не визначений.

Одне зі значень аргументів, що належить інтервалу називається головним.

Приклад. Для комплексних чисел головне значення аргументу дорівнює –135°, 90°, 90°.

Зауваження. Аргумент додатного дійсного числа має головне значення 0°; від’ємного 180°. Головні значення аргументу комплексно-спряжених чисел мають одну й ту саму абсолютну величину, але протилежні знаки.

Наприклад, головні значення аргументу спряжених чисел та дорівнюють 135° та –135°.

Зі співвідношень

випливає тригонометрична форма комплексного числа:

;

(1.2)

Приклад. Записати комплексне число 1 + і у тригонометричній формі.

¨

.

Отже, .

Зауваження. Тригонометрична форма найзручніша для піднесення комплексного числа до степеня.

5. Дії з комплексними числами у тригонометричній формі.

Добуток комплексних чисел

Нехай .

Знайдемо добуток

Модуль добутку дорівнює добутку співмножників. Аргумент добутку дорівнює сумі аргументів співмножників.

Ділення комплексних чисел

.

Модуль частки дорівнює частці співмножників. Аргумент частки дорівнює різниці аргументів співмножників.

Піднесення до степеня

Комплексне число підносять до степеня за формулою Муавра

. (1.3)

Означення. Степенем з показником р комплексного числа називатимемо число , де р — будь-яке дійсне число.

Приклад. Якщо , формула (1.3) набирає вигляду

,

звідки випливають відомі формули:

.

Формула (1.3) дає змогу виражати та через степені та .

Приклад. Знайти , якщо .

¨ .

Приклад. Знайти .

¨ ;

Формулу (1.3 ) можна застосувати для добування кореня n-го степеня.

Нехай

.

Тоді маємо:

Остаточно дістаємо формулу:

,
.

Приклад. Розв’язати рівняння 6-го степеня .

¨

.

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , .

6. Показникова форма комплексного числа

Леонард Eйлер вивів загальну формулу для показникової функції:

, (1.4)

звідки випливає основна властивість цієї функції:

.

Знайдемо за формулою (1.4) де у — дійсне число .

Подамо число у тригонометричній формі:

Виконуючи граничний перехід, дістаємо:

.

Остаточно маємо відому формулу Ейлера:

(1.5)

Звідси випливає показникова форма комплексного числа:

, або .

Приклад. .

Формула Муавра (1.3) є наслідком формули Eйлера (1.5).

Скориставшись (1.5), знайдемо ще дві важливі залежності:

, (1.6)

які можна застосовувати, розкладаючи степені за функціями кратних кутів.

Приклад. Виконати дії.

1)

2)

Властивості показникової функції

1. .

· ·

2.

Комплексні числа - 2.0 out of 5 based on 2 votes

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить