Застосування методу S-рядів для дослідження стійкості розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь з випадковими періодичними коефіцієнтами у разі параметричного резонансу.
У цьому параграфі виведено рівняння для визначення характеристичних показників розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь з коефіцієнтами, що залежать від випадкового
марковського періодичного процесу.
Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь
(6.1)
де — марковський періодичний випадковий процес, що набуває скінченної кількості станів
з імовірностями
що задовольняють систему диференціальних рівнянь:
(6.2)
Нехай
— частинна щільність імовірності випадкової величини
що задовольняє систему рівнянь з частинними похідними:
(6.3)
Система рівнянь (6.3) є частинним випадком системи рівнянь Фоккера—Планка—Колмогорова [70].
Введемо частинні моменти другого порядку
Помноживши систему рівнянь (6.3) на матрицю і зінтегрувавши по всьому простору
, дістанемо систему моментних рівнянь:
(6.4)
де елементи матриць — періодичні функції. Елементарними перетвореннями зведемо систему рівнянь (6.4) до системи диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами більш високого порядку, але з меншою кількістю рівнянь, тобто до системи рівнянь виду (4.12). Далі здобуту систему рівнянь можна досліджувати методами, викладеними в підрозд. 4.3.
Введемо рівняння для визначення характеристичних показників розв’язків системи (6.4) у резонансних випадках.
Попередньо введемо поняття резонансної частоти.
Нехай породжувальне рівняння, (4.32)
має корені і мультиплікатори
Під час зміни мультиплікатори переміщуються по одиничному колу. При цьому мультиплікатори, що відповідають знаку «+», рухаються в один бік, а мультиплікатори, що відповідають знаку «–», у протилежний, що відповідає запропонованому М. Г. Крейном, поділу на мультиплікатори першого і другого роду.
Означення. Значення частоти
буде резонансним, якщо при деяких значеннях індексу
і деякому цілому
виконується співвідношення
Розіб’ємо множину частот на групи чисел, що рівні між собою за модулем
Позначимо одну з груп чисел через
Нехай
— найменша відстань модуля різниці між числом
і числами
, що не входять до групи
. Тоді маємо, що в області
(6.5)
містяться характеристичні показники, що належать одній групі.
Зауваження. Умова (6.5) еквівалентна умові:
Розглянемо систему різницевих рівнянь (4.25). Підставимо замість змінної значення
при
Дістанемо нескінченну систему лінійних алгебраїчних лінійних рівнянь для визначення
(6.6)
де
визначені в (4.26).
Введемо неперервні функціональні дроби:
(6.7)
де
(6.8)
Підставляючи співвідношення (6.7) у рівняння (6.6) при і скорочуючи на
приходимо до трансцендентного рівняння для визначення характеристичних показників:
(6.9)
Рівняння (6.9) повністю збігається з рівнянням (3.16).
В області (6.5) для будь-якого функція
припиняє бути неперервною. У дробу
одночасно частинний дільник
і частинний знаменник
можуть одночасно перетворюватися на 0, і рівняння (6.9) буде некоректним.
Цього недоліку можна уникнути, застосовуючи комбінований спосіб виключення невідомих із системи рівнянь (6.9). Частина невідомих виключається за допомогою ланцюгових дробів, а частина — за допомогою нескінченних визначників.
Розглянемо допоміжні матриці
де матриці визначено формулами (4.54).
Два рівняння в системі рівнянь (6.6) з використанням введених матриць наберуть вигляду
(6.10)
Для знаходження величин маємо систему алгебраїчних рівнянь, визначник якої
дорівнює 0. Таким чином, з рівняння можна визначити характеристичні показники розв’язків рівнянь системи (6.1) у випадку основного резонансу.
Якщо всі корені породжуючого рівняння (4.32) суто уявні, то при зміні характеристичні показники можуть зійти з уявної осі, коли виконується умова:
Якщо на межі області нестійкості є характеристичний показник то маємо основний параметричний резонанс.