Застосування методу S-рядів для дослідження стійкості розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь з випадковими періодичними коефіцієнтами у разі параметричного резонансу.

У цьому параграфі виведено рівняння для визначення характеристичних показників розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь з коефіцієнтами, що залежать від випадкового
марковського періодичного процесу.

Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь

(6.1)

де — марковський періодичний випадковий процес, що набуває скінченної кількості станів з імовірностями

що задовольняють систему диференціальних рівнянь:

(6.2)

Нехай — частинна щільність імовірності випадкової величини що задовольняє систему рівнянь з частинними похідними:

(6.3)

Система рівнянь (6.3) є частинним випадком системи рівнянь Фоккера—Планка—Колмогорова [70].

Введемо частинні моменти другого порядку

Помноживши систему рівнянь (6.3) на матрицю і зінтегрувавши по всьому простору , дістанемо систему моментних рівнянь:

(6.4)

де елементи матриць — періодичні функції. Елементарними перетвореннями зведемо систему рівнянь (6.4) до системи диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами більш високого порядку, але з меншою кількістю рівнянь, тобто до системи рівнянь виду (4.12). Далі здобуту систему рівнянь можна досліджувати методами, викладеними в підрозд. 4.3.

Введемо рівняння для визначення характеристичних показників розв’язків системи (6.4) у резонансних випадках.

Попередньо введемо поняття резонансної частоти.

Нехай породжувальне рівняння, (4.32)

має корені і мультиплікатори

Під час зміни мультиплікатори переміщуються по одиничному колу. При цьому мультиплікатори, що відповідають знаку «+», рухаються в один бік, а мультиплікатори, що відповідають знаку «–», у протилежний, що відповідає запропонованому М. Г. Крейном, поділу на мультиплікатори першого і другого роду.

Означення. Значення частоти буде резонансним, якщо при деяких значеннях індексу і деякому цілому виконується співвідношення

Розіб’ємо множину частот на групи чисел, що рівні між собою за модулем Позначимо одну з груп чисел через Нехай — найменша відстань модуля різниці між числом і числами , що не входять до групи . Тоді маємо, що в області

(6.5)

містяться характеристичні показники, що належать одній групі.

Зауваження. Умова (6.5) еквівалентна умові:

Розглянемо систему різницевих рівнянь (4.25). Підставимо замість змінної значення при Дістанемо нескінченну систему лінійних алгебраїчних лінійних рівнянь для визначення

(6.6)

де визначені в (4.26).

Введемо неперервні функціональні дроби:

(6.7)

де

(6.8)

Підставляючи співвідношення (6.7) у рівняння (6.6) при і скорочуючи на приходимо до трансцендентного рівняння для визначення характеристичних показників:

(6.9)

Рівняння (6.9) повністю збігається з рівнянням (3.16).

В області (6.5) для будь-якого функція припиняє бути неперервною. У дробу одночасно частинний дільник і частинний знаменник можуть одночасно перетворюватися на 0, і рівняння (6.9) буде некоректним.

Цього недоліку можна уникнути, застосовуючи комбінований спосіб виключення невідомих із системи рівнянь (6.9). Частина невідомих виключається за допомогою ланцюгових дробів, а частина — за допомогою нескінченних визначників.

Розглянемо допоміжні матриці