Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Диференціальне рівняння з поліноміальними коефіцієнтами

Сам Лаплас запропонував застосувати інтегральне перетворення для розв’язування диференціального рів­няння з лінійними коефіцієнтами, що викладено в курсі Айнса [1]. У наших працях [13; 20] було запропоновано спосіб розв’язування лінійних диференціальних рівнянь з експоненціальними коефіцієнтами. Як відомо, лінійне диференціальне рівняння з поліноміальними коефіцієнтами за допомогою заміни змінних можна перетворити на лінійне диференціальне рівняння з експоненціальними коефіцієнтами. Тут ми обмежимося лише прикладом.

Приклад. Знайти розв’язок рівняння Бесселя

(4.1)

Для зображення за Лапласом розв’язку дістаємо рів­няння

Зробимо заміну змінних [77]

Обчислюючи та підставляючи похідні

,

дістаємо диференціальне рівняння

,

що має такий розв’язок:

.

Із нього знаходимо зображення

Добираючи відповідним чином, можна знайти зображення будь-якого розв’язку рівняння (4.1), для якого існує зображення за Лапласом. Зокрема, дістанемо зображення для
функції Басселя :

Зауваження. Можна графічно зобразити функції Бесселя і — розв’язки першого та другого роду — в пакеті «Work Place for Scientest 3.0». Для зображення функцій Бесселя беремо Maple + Settings на сторінці Definition Option. В опції Bessel Function Notation, натискаємо Use I, G, K with Subscripts і дістаємо графіки функцій

Рис. 4.1

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить