Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Виведення моментних рівнянь для системи нелінійних диференціальних рівнянь з випадковими коефіцієнтами.

1. Розглядається система нелінійних диференціальних рівнянь

(6.58)

де — напівмарковський випадковий процес, що набуває скінченної кількості станів що визначається інтенсивностями які задовольняють умови

Імовірність переходу стрибком процесу із положення у положення за час дорівнює

Вводяться функції

(6.59)

Якщо процес у момент стрибком потрапив у положення то — імовірність того, що процес залишається в положенні протягом часу .

У частинному випадку, коли процес залишається марковським і ймовірності

задовольняють систему диференціальних рівнянь

маємо [17]

(6.60)

Нехай Розглянемо системи рівнянь:

(6.61)

Припускаємо, що розв’язок системи (6.61) продовжується при на всю числову вісь. Нехай , розв’язок системи (6.61) у формі Коші.

2. Нехай момент стрибка Введемо умовні математичні сподівання випадкових розв’язків:

(6.62)

Процес будемо вважати неперервним праворуч у точках стрибків. З імовірністю процес залишається у стані і зі щільностями ймовірностей переходить зі стану до стану

Відшукання математичного сподівання розв’язку системи (6.61) при зведено до розв’язування інтегральних рівнянь

(6.63)

Якщо дискретно-неперервний випадковий процес у початковий момент при мав щільність розподілу

то математичне сподівання випадкового розв’язку системи (6.58) може бути знайдене за формулою

(6.64)

Якщо система диференціальних рівнянь (6.58) лінійна і має вигляд

(6.65)

то система рівнянь (6.63) набере вигляду

(6.66)

Моментні рівняння (6.66) дозволяють знайти математичне сподівання випадкового розв’язку системи (6.65) за формулою

3. Нехай — марковський випадковий процес, який можна розглядати як напівмарковський процес з інтенсивностями (6.60). Математичне сподівання випадкового розв’язку визначається системою рівнянь виду (6.66):

(6.67)

Введемо зображення за Лапласом матриць

і при цьому дістанемо систему рівнянь

з яких випливає рівняння

Цю систему рівнянь можна записати у вигляді

(6.68)

а також у матричній формі

(6.69)

де введено позначення

(6.70)

Зображення за Лапласом математичного сподівання можна знайти за формулою

(6.71)

З формул (6.69),(6.70) знаходимо вираз

(6.72)

У праці [17] наведені моментні рівняння здобуто іншим шляхом:

(6.73)

Введемо зображення за Лапласом векторів

Із системи рівнянь

знаходимо вектори:

(6.74)

Із порівняння формул (6.72), (6.74) випливає, що тобто математичні сподівання випадкового розв’язку, знайдені різними способами, тотожно збігаються.

Приклад. Досліджуємо стійкість нульового розв’язку лінійного диференціального рівняння

де — напівмарковський процес, що набуває двох станів.

Припускаємо, що:

1.

2. (6.75)

3.

Знаходимо функції за формулами (6.60):

Система рівнянь (6.66) набирає вигляду

Математичне сподівання якщо

при

Для дослідження використовуємо перетворення Лапласа. Вважаємо

(6.76)

З урахуванням (6.76) із (6.75) дістанемо систему рівнянь

Особливі точки зображень визначаються з рівняння

Вважаючи , з урахуванням (6.76) знаходимо рівняння для межі області нестійкості (рис. 6.15):

Рис. 6.15

Рис. 6.16

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить