Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Асимптотичний метод перетворення канонічної системи

Асимптотичний метод у різних формах здавна застосовували під час розв’язування задач небесної механіки Гаусс, Фату, Делоне. У нелінійну механіку асимптотичний метод увійшов завдяки працям Ван-дер-Поля, що їх популяризували Л. Ф. Мандель­штам і Н. Д. Папалексі. Найбільшого поширення асимптотичний метод набув з появою праць Н. М. Крилова, Н. Н. Боголюбова, Ю. О. Митропольського та інших математиків київської школи: Й. З. Штокала, А. М. Самойленка, С. Ф. Фещенка, М. І. Шкіля [5; 6; 7; 51; 66; 72; 77; 78] та багато інших. Докладну бібліографію і огляд робіт подано у працях Ю. О. Митропольського. Ми наводимо лише результати, пов’язані з викладенням ідей асимптотич­ного методу (методу усереднення).

Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами

(5.1)

Шукаємо заміну змінних

(5.2)

яка перетворює систему (5.1) на систему лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

(5.3)

Роблячи заміну (5.2) та прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , приходимо до нескінченної системи диференціальних рівнянь, що визначають матриці :

(5.4)

Із (5.4) бачимо, що сталі матриці завжди можна вибрати так, щоб були періодичними. Матриці визначаються неоднозначно. Беремо

У першому наближенні знаходимо для системи (5.3) подання

утворене усередненням правої частини системи (5.1) за часом Для дослідження стійкості нульового розв’язку системи (5.3) використовуємо теорему.

 Теорема. Якщо стійкість (нестійкість) нульового розв’язку системи диференціальних рівнянь

залежить від членів порядку то при достатньо малих значеннях нульовий розв’язок системи (5.1) стійкий (нестійкий).

Іншими словами, якщо всі корені алгебраїчного рівняння

будуть мати від’ємні дійсні частини при достатньо малих значеннях для будь-якої сталої матриці то нульовий розв’язок системи (5.1) буде асимптотично стійкий при достатньо малих значеннях

Приклад. Дослідити на стійкість розв’язків рівняння

(5.5)

· При маємо рівняння

з розв’язком

де (5.6)

Підставивши (5.6) у (5.5), приходимо до системи рівнянь, яка внаслідок усереднення набирає вигляду

Нульовий розв’язок цієї системи асимптотично стійкий при достатньо малих якщо

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить