Операційне числення та його застосування
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.00 (1 Голос)

Аналітичні продовження регулярних функцій

Теорія регулярних функцій є видатним витвором людського розуму. Множина регулярних функцій є підмножиною множини двох регулярних функцій від двох аргументів і має унікальні властивості, одна з яких — можливість аналітичного продовження. Якщо відомі значення регулярної функції на деякій нескінченній множині точок, то в загальному випадку, можна знайти значення цієї функції при всіх інших можливих значеннях аргументу. У пропонованій праці розроблено новий метод аналітичного продовження матричних рядів, членами яких є регулярні функції. Цей метод дає змогу знаходити особливі точки зображення за Лапласом і суттєво розширює можливості операційного числення.

Теорема єдиності регулярних функцій

Поняттю про аналітичне продовження регулярних функцій має передувати теорема про єдиність регулярної функції.

Подпись: Теорема. Нехай дано дві функції , , які регулярні в області і збігаються в точках . При цьому послідовність збігається до точки , яка міститься в області . Тоді в області .

Теорема справджується у випадку, коли на відрізку як завгодно малої довжини або в як завгодно малій області, що лежить всередині області . Доведення цієї теореми випливає з такої теореми.

Подпись: Теорема. Нехай відомо, що функція регулярна в області і , де точки лежать в області і , де , тоді в області .

Доведення. Розкладемо регулярну функцію у ряд Тейлора в точці . З неперервності регулярної функції маємо:

.

З формули Лагранжа

випливає, що існує послідовність точок , така що , . Тому

.

Аналогічно доводиться, що , ().

Отже, регулярна функція розкладається в ряд Тейлора з нульовими коефіцієнтами. Тому в колі збіжності ряду Тейлора . Розклавши у ряд Тейлора в інших точках кола , дістанемо, що в усій області .

Візьмемо дві функції: , регулярну в області , і , регулярну в області , і припустимо, що області і мають спільну частину , в якій (рис. 1.20). Тоді функція називається аналітичним продовженням функції з області в область . Це аналітичне продовження можливе лише єдиним чином.

Рис. 1.20

Функції , не можна розглядати як різні регулярні функ­ції. Говорять, що ці функції є елементами однієї функції, регулярної в області .

Означення. Функція , складена з усіх можливих аналітичних продовжень регулярної функції з області в інші області, називається аналітичною функцією, визначеною в усіх зазначених областях.

Приклад. Нехай регулярну в колі функцію визначено рядом

. (1.100)

Розклавши функцію в ряд Тейлора за степенями , дістанемо розклад:

. (1.101)

Цей ряд збігається при (рис. 1.21).

Рис. 1.21

Функція (1.101) є аналітичним продовженням регулярної функції (1.100) з області : в область : . Обидві функції (1.100), (1.101) є елементами однієї аналі-
тичної функції .

Продовжуватимемо й далі регулярну функцію з області в різні області , які можуть і не мати спільних частин з областю .

При цьому дістанемо аналітичне продовження функції в області — функцію , в області — функцію і т. д.

Функція , складена з усіх можливих аналітичних продовжень в усі інші області, є аналітичною функцією. Після одного або кількох аналітичних продовжень можемо дістати функцію в області , що накладається на вихідну область (рис. 1.22). Якщо у спільній частині областей функції не збігаються, то це означає, що аналітична функція є многозначною.

Рис. 1.22

Значення в деякій точці залежатиме від шляху, яким ми потрапляємо в точку , аналітично продовжуючи функцію з вихідної області .

Щоб дістати однозначну функцію, маємо вважати, що область, яка складається з областей , є многолистою поверхнею Рімана.

Приклад. Розглянемо двозначну функцію . У точці міститься точка розгалуження. У процесі обходу навколо початку кординат функція змінює свій знак.

При дістаємо . Цю функцію можна розглядати на поверхні Рімана, що складається з двох комплексних площин, які збігаються в точці .

Унаслідок обходу точки на першій площині потрапляємо на другу площину. Під час обходу точки на другій площині потрапляємо на першу площину (рис. 1.23).

Рис. 1.23

1.5.2. Загальні теореми про
аналітичне продовження

Подпись: Теорема Рімана. Нехай функція регулярна в області і неперервна в замкненій області , а функція регулярна в області і неперервна в замкненій області . Нехай області мають спільну межу і на ній (рис. 1.24). Тоді функції є елементами однієї функції , регулярної в області .

Рис. 1.24

Принцип симетрії. Дано функцію

,

регулярну в області , що прилягає згори до куска дійсної осі і неперервна, включаючи цей кусок, де вона набуває дійсного значення, тобто . Тоді функція може бути продовжена за дійсну вісь, причому дістаємо функцію , яка набуватиме в симетричних відносно дійсної осі точках спряжених значень .

Доведення. Аналітичне продовження при

буде регулярною функцією, якщо взяти

. (1.102)

Поняття симетрії можна узагальнити для кіл. А саме, дві точки А, В називаються симетричними відносно кола з центром О і радіусом R, якщо ці точки містяться на одному промені, який виходить із точки О, причому .

Скориставшись дробово-лінійним перетворенням

,

можна відобразити будь-яке коло (або пряму) в інше коло (або пряму). При цьому дістанемо інше формулювання принципу симетрії.

Подпись: Теорема. Нехай дана функція регулярна в області , що лежить по один бік від деякого кола С, і неперер­вна поблизу дуги АВ цього кола.

Нехай функція перетворює дугу АВ на дугу ab кола С на площині . При цьому функція аналітично продовжувана через дугу АВ. Здобута внаслідок продовження функція набуватиме в точках, що симетричні відносно кола С, значень, які зображуються точками площини , симетричними відносно кола С.

Цей результат на той випадок, коли межі відображуваних областей містять аналітичні дуги, узагальнює теорема Шварца.

Означення. Дуга С називається аналітичною, якщо її можна задати параметричними рівняннями:

, ,

де , є регулярними функціями змінної .

Наведемо принцип аналітичного продовження Г. Шварца.

Подпись: Теорема. Нехай регулярна в області функція відображає область в область . Межа області містить аналітичну дугу , якій відповідає аналітична дуга області . При цьому функцію можна аналітично подовжити через дугу .

Фактично теорема стверджує, що за відсутності особливих точок на деякій ділянці межі області регулярності функції цю функцію можна аналітично продовжити через зазначену ділянку межі. Існують регулярні функції, які не можна продовжити за межу області регулярності. У них на такій межі всюди щільно лежать особливі точки. Наприклад, функція

не подовжувана за межі кола .

Наведемо ще одну властивість регулярних функцій, яка називається перманентністю функціонального стану.

Розглядаються функції , регулярні в деякій області . Нехай у якійсь частині цієї області або на якійсь лінії в ці функції задовольняють алгебраїчне або диференціальне рівняння:

або , (1.103)

коефіцієнти якого — регулярні в області функції. Нехай рівняння (1.103) містить лише цілі степені функцій та їх похідних.

При цьому рівняння (1.103) виконуватиметься не лише в ,
а й в усій області та за всіх можливих аналітичних продовжень функцій і функцій, що є коефіцієнтами рівняння (1.103).

Приклад. Відома тотожність , яка переходить у тотожність для всіх комплексних значень . При маємо тотожність .

1.5.3. Методи аналітичного продовження

Розглянемо конкретні методи аналітичного продовження регулярних функцій.

1. Розклад у ряд Тейлора. Нехай регулярна функцій визначена в деякому околі точки . Розкладемо в ряд Тейлора в точці :

. (1.104)

Ряд (1.104) збіжний у крузі , на межі якого міститься найближча до особлива точка функції . Ряд (1.104) здійснює аналітичне продовження із як завгодно малого околу точки у круг . Вводячи в пам’ять ЕОМ досить велику кількість коефіцієнтів , можна наближено обчислювати значення у крузі .

2. Розклад у ряд Лорана. Нехай регулярну функцію задано на колі . Розкладемо у ряд Лорана:

, . (1.105)

Цей ряд збіжний у кільці , де на колах , містяться найближчі до кола особливі точки функції . Ряд (1.105) здійснює аналітично продовження з кола на все кільце .

3. Застосування формули Коші. Нехай регулярну функцію визначено на замкненому контурі , що охоплює область . В області функцію можна знайти за допомогою формули Коші:

.

4. Застосування конформних відображень. Л. Ейлер застосовував конформні відображення для поліпшення збіжності рядів, що дає змогу здійснювати аналітичне продовження регулярних функцій.

Візьмемо розклад бінома Ньютона

, (1.105)

що при довільному збіжний, коли .

Нехай

, , . (1.06)

Тоді маємо розклад

Замінивши на , дістанемо розклад

,

або внаслідок заміни на маємо розклад

, (1.107)

який є збіжним за умови

або .

Ряд (1.107) дає аналітичне продовження функції з області в область .

Аналогічно можна аналітично продовжити логарифмічну
функцію

, . (1.108)

Заміна (1.106) приводить до розкладу

,

який збігається при і здійснює аналітичне продовження функції

. (1.108)

5. Додавання рядів. Л. Ейлер запропонував метод додавання розбіжних рядів, який ґрунтується на аналітичному продовженні регулярних функцій.

Якщо відшукується сума ряду

,

то розглядається степеневий ряд

.

Нехай є аналітичним продовженням суми ряду в околі точки .

Ейлер пропонує вважати .

Приклад. Розглянемо розбіжний ряд

.

Вводиться степеневий ряд

, .

Цей ряд можна аналітично продовжити:

, .

Тому Ейлер пропонує вважати .

Аналогічно додаються інші розбіжні ряди [79].

Нехай суму степеневого ряду

(1.109)

можна аналітично продовжити й подати у вигляді раціонального дробу

. (1.110)

Подпись: Теорема. Подання суми степеневого ряду (1.109) у вигляді раціонального дробу (1.110) можливе тоді і тільки тоді, коли коефіцієнт розкладу (1.109) при задовольняє різницеве рівняння зі сталими коефіцієнтами :

. (1.111)

Приклад. Розкласти у степеневий ряд функцію

.

¨ Коефіцієнти розкладу у степеневий ряд задовольняють різницеве рівняння

і визначаються за формулою

.

Якщо коефіцієнти розкладу у степеневий ряд

задовольняють різницеве рівняння:

,

то Л. Ейлер запропонував метод додавання за допомогою заміни [79].

При цьому дістаємо розклад

(1.112)

Приклад. Знайти суму ряду

.

Маємо , . Дістаємо суму ряду за формулою (1.112):

.

Ця формула дає аналітичне продовження степеневого ряду на всю комплексну площину .

Аналогічно, суму степеневого ряду

можна знайти за формулою (1.112) із заміною на :

(1.113)

Приклад. Знайдемо суму ряду

, .

Тут , . Тому маємо аналітичне продовження із кола на всю площину

.

Зауважимо, що аналітичним продовженням можна скористатись для поліпшення збіжності функціональних рядів.

Приклад. Розглянемо степеневий ряд

(1.114)

Знайдемо зображення за Лапласом функції :

.

Аналітичне продовження ряду з області на всю комплексну площину дає оригінал

.

Обчислення функції за формулою набагато простіше, ніж обчислення за формулою (1.114), хоча ряд (1.114) збігається для всіх значень .

1.5.4. Функції від матриці

За формулою Коші

(1.115)

знаходимо значення регулярної функції . Контур охоплює точку . Аналогічна формула справеджується, якщо замість числа візьмемо квадратну матрицю розміру :

. (1.116)

Контур охоплює весь спектр матриці .

Якщо — власні числа матриці , то

. (1.117)

Приклад. Знайдемо матрицю , де матриця

.

¨ Матриця має власні числа , . Знаходимо обернену матрицю:

,

а також матрицю за формулою (1.117):

,

.

Знайдемо матрицю . Матриця має власні числа , . Отже, дістаємо

.

Знаходимо матрицю

.

Для матричних рядів, регулярних в області , так само як і для скалярних рядів, постає проблема аналітичного продовження. Наприклад, ряд

,

може бути підсумований і аналітично продовжений з області на всю комплексну площину:

. (1.118)

Докладніше функції від матриці викладено в [16].

1.5.5. Подання розв’язку системи
лінійних диференціальних рівнянь
в околі особливої точки

Розглянемо спочатку звичайне диференціальне рівняння в комплексній площині

(1.119)

і подамо загальний його розв’язок у вигляді

, . (1.120)

Права частина диференціального рівняння (1.119) має полюс у точці і розв’язок (1.120) у загальному випадку має особливість у точці . Після обходу навколо точки розв’язок набуває додаткового множника . Далі позначатимемо значення функції після обходу точки знаком «+». Маємо рівняння

.

Розглянемо тепер систему лінійних диференціальних рівнянь з особливою точкою

, (1.121)

де — стала матриця; — вектор. Система рівнянь (1.121) має загальний розв’язок

.

Цей розв’язок після обходу навколо точки набуває матричного множника :

. (1.122)

Розглянемо тепер систему лінійних диференціальних рівнянь з регулярними в області коефіцієнтами

, (1.123)

де матриця має особливу точку .

Позначимо через фундаментальну матрицю розв’язків системи рівнянь (1.123). Нехай після обходу навколо точки матриця набуває матричного множника :

. (1.124)

Матричний множник називається матрицею монодромії. Власні числа матриці називають мультиплікаторами. Узявши

, (1.125)

розглянемо матрицю

.

Після обходу навколо точки дістанемо вираз

Оскільки матриця не змінює свого значення внаслідок обходу навколо особливої точки , її можна розкласти в ряд Лорана:

. (1.126)

Остаточно знаходимо загальне подання фундаментальної матриці розв’язків системи рівнянь (1.123) в околі особливої точки :

. (1.127)

Якщо ряд Лорана збігається до точки , то особлива точка називається регулярною особливою точкою. Якщо ряд Лорана (1.126) розбіжний у деякому околі точки , то особлива точка називається іррегулярною.

Іноді характер особливої точки можна встановити за виглядом системи рівнянь (1.123).

Якщо система рівнянь (1.123) має вигляд

, (1.128)

де — регулярна матриця в точці , то особлива точка є регулярною. Якщо всі особливості матриці коефіцієнтів є полюсами першого порядку, то ці полюси є регулярними особливими точками. Зокрема, система рівнянь

,

має лише регулярні особливі точки .

Якщо матриця коефіцієнтів має полюс порядку, вищого за перший, то система диференціальних рівнянь має, як правило, іррегулярну особливу точку. Але бувають винятки.

Приклад. Коефіцієнти системи рівнянь

, ,

мають полюс другого порядку, але точка є регулярною особливою точкою, бо фундаментальна матриця розв’язків має вигляд

, .

1.5.6. Теорема Флоке

Основну увагу в цій праці буде приділено системам лінійних диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами виду

, , . (1.129)

Нехай фундаментальна матриця розв’язків системи рівнянь (1.129), нормована в точці , тобто , де — оди­нична матриця.

Знайдемо матрицю

. (1.130)

Ця матриця називається матрицею монодромії. Власні числа матриці називаються мультиплікаторами розв’язків системи (1.129). Числа

(1.131)

називаються характеристичними показниками розв’язків системи (1.129). Мультиплікатори і характеристичні показники є в загальному випадку комплексними числами. Показники визначені з точністю до доданка .

Розглянемо матрицю

,

а також допоміжну матрицю

.

Замінюючи аргумент на доданок , дістаємо рівняння

.

Отже, матриця є періодичною з періодом і може бути розкладена в ряд Фур’є. Звідси знаходимо формулу

. (1.132)

Подпись: Теорема Флоке. Фундаментальну матрицю розв’язків системи диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами (1.129) можна подати у вигляді (1.132).

Якщо у системі рівнянь (1.129) виконати заміну змінних

, ,

то система рівнянь (1.129) перетворюється на систему лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

, . (1.133)

Системи диференціальних рівнянь, які заміною перетворюються на систему рівнянь виду (1.133), А. М. Ляпунов назвав зведеними.

Аналітичні продовження регулярних функцій - 4.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить