Множества
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.50 (1 Голос)

Пусть заданы множества А и В. Тогда Соответствием между А и В называется подмножество . О паре говорят, что B соответствует A при соответствии G. При этом Пр1G называется областью определения, а Пр2G – областью значений соответствия G. Таким образом, соответствие, обозначаемое G, представляет собой тройку множеств

G = (A, B, G ),

Где, зачастую, А - называется Областью отправлений, В - Областью прибытия, G - Графиком соответствия.

Если Пр1G=А, то соответствие называется Всюду определенным, а если Пр2G=В – Сюръективным.

c Рис.1.12. Геометрические представления (а) не всюду определенного и не сюръективного соответствия, (б) – всюду определенного, (в) – сюръективного, А={A1,A2,A3,A4}, B={b1,b2,b3}.

На рис. 1.12. представлены примеры соответствий. Множество всех BÎВ, соответствующих элементу АÎА, называется образом при соответствии G. Например, для рис. 1.12.а {B1,B2}Ì В является образом А2ÎА. Одновременно множество всех АÎА, которым соответствует BÎВ, называются прообразом B в А. Так, на рис. 1.12.б {A1,A2,A3}ÌA является прообразом B2ÎВ. Если С Í ПР1G, то образом С является объединение образов всех элементов С. Аналогично определяется прообраз множества D для любого DÍПр2G.

Соответствие называется Функциональным, если образом любого элемента из Пр1G является единственный элемент из Пр2G. Таким является соответствие, представленное на рис.1.12.в.

Если соответствие g=(A, B,G) одновременно всюду определено, сюръективно, функционально и прообразом любого элемента из Пр2G является единственный элемент из Пр1G, то оно называется Взаимно однозначным.

Для примера рассмотрим на плоскости круг (рис.1.13.)

. (1.53)

32Рис.1.13. Пример соответствия, заданного кругом

Полагаем, что Х, уÎR и соответствие G зададим неравенством (1.53), тогда GÍRxR. Очевидно, что Х=3 соответствует единственное значение У=1, однако значению Х=2 соответствует УÎ[0;2]. Т. к. Пр1G=[1;3]ÌR, Пр2G=[0;2]ÌR, то соответствие не всюду определено и не сюръективно.

Если же А=[1;3], B=[0;2], то GÍ[1;3]x[0;2] и Пр1G=A, Пр2G=В и соответствие становится всюду определенным и сюръективным, но в связи с неединственностью образов для ХÎ(1;3) оно не является функциональным.

Если взять А=[1;3],B=[1;2], а в качестве G использовать только дугу окружности АВС, то каждому X будет соответствовать единственное значение Y и, очевидно, соответствие будет всюду определенным, сюръективным и функциональным, но не взаимно однозначным.

Для взаимной однозначности нужно взять A=[1;2], B=[1;2], а соответствие задать четвертью окружности АВ (или BC), для которой для каждого Y прообразом является единственное значение X.

В качестве другого примера можно рассмотреть англо-русский словарь, устанавливающий соответствие английских и русских слов. Такое соответствие не является функциональным (так как одному английскому слову соответствует в общем случае несколько русских), не полностью определено и не сюръективно (так как словарь содержит лишь часть действующих языков).

Пусть задано соответствие g=(A, B,G), GÍAxB. Если соответствие h=(B, A,H), HÍBxA таково, что тогда и только тогда, когда , то соответствие H (или Н) называется обратным к G (или G) и обозначается :

G-1=(B, A,G-1), G-1ÍBxA

Геометрическая интерпретация прямого и обратного соответствий представлены на рис.1.14, откуда с очевидностью следует, что (g-1)-1=g.

Б

Рис.1.14. Геометрическое представление прямого (a) и обратного (б) соответствий

Рассмотрим теперь два соответствия:

G=(A, B,G), GÍAxB;

H=(B, C,H), HÍBxC,

Где Пр2G=Пр1H.

Тогда каждому АÎПр1GÍA cоответствует некоторый образ из Пр2G, а каждому элементу из образа A соответствует образ C из Пр2HÍC.

Таким образом, каждому АÎПр1GÍA соответствует образ из Пр2HÍC и мы получим Композицию соответсвий

Графически иллюстрация композиции соответствий представлена на рис.1.15., для которых можем записать:

Рис.1.15. Геометрическое представление композиции соответствий

Очевидно, что композицию соответствий можно распространить и на произвольное число соответствий.

Функциональное соответствие между А и В называют функцией F и пишут:

F:А®В,

Или более привычно

И называют аргументом, а – значением функции.

Полностью определенная функция F:А®В называется Отображением А в В. Образ А при отображении f обозначается F(A) для . Если соответствие при этом сюръективно, то говорят, что имеет место отображение А на В. Если, например, F(A) состоит из одного элемента, то F называется функцией-константой.

Функции f и g Равны, ели равны их области определения (пусть это множество DÍA) и для любых АÎD f(A)=g(A).

Функции типа

Называются N-местными функциями. Примером таких функций могут служить сложение и умножение действительных чисел на R. Это так называемые 2-х местные функции типа R2®R.

Еcли соответствие, обратное к функции F:A®B, является функциональным, то оно называется Функцией, обратной к F И обозначается .

Например, для соответствие F:X®Y, где F(X)=sinX, является взаимооднозначным, а, следовательно, существует обратное соответствие или обратная функция .

Как и для соответствий, для функций f:A®B, g:B®C можно ввести функцию H: A®C, которая называется Композицией F и G и обозначается , если имеет место равенство:

H(X)=G(F(X)), XÎA.

Пусть задана функция f:A®B, тогда она называется Инъективной, если для любых и из и следует, что или иначе:

Если для существует АÎА такой, что , то функция F:A®B называется Сюръективной, а если функция F одновременно сюръективна и инъективна, то она называется Биективной и задает Взаимно однозначное Соответствие между А и В.

Например, о функциях F:R®R можно сказать, что:

Функция f(x)=10x инъективна, но не сюръективна;

Функция f(x)=x3-x сюръективна, но не инъективна;

Функция f(x)=5х-1 биективна.

В соответствии с введенными определениями можем утверждать, что отображение имеет обратное отображение тогда и только тогда, когда F – биективно. Очевидно, что это же справедливо для функций. Заметим также, что композиция двух биективных функций есть биективная функция.

Отображение eA:A®A называется Тождественным отображением множества А в себя, если для любого АÎА eA(A)=A.

Можно для инъективных функций отметить свойства:

А для биективных функций:

.

В более широком смысле Отображением Называют соответствие (X, Y, Г), Г Í X x Y, являющееся всюду определенным, т. е. Пр1Г=Х. В этом случае каждому хÎХ отображение Г ставит в соответствие некоторое подмножество Y, т. е.:

Очевидны простейшие свойства отображений:

A)  если то:

Б) если то: .

Поскольку отображение является частным случаем соответствия, то для отображения имеют место введенные для соответствий понятия обратного отображения и композиции отображений.

Рассмотрим подробнее отображения и их свойства. Графическая интерпретация отображения Представлена на рис. 1.16.

Рис. 1.16. Иллюстрация отображения

Пример 1.4. Пусть множества натуральных чисел. Каждому поставим в соответствие число Тогда: , и т. д. Очевидно, что соответствие, заданная подобным образом, является отображением где или иногда пишут

Если рассмотреть отображение то Образом, Или Изображением Множества Является множество

Которое изображено на рисунке 1.17.

Рис. 1.17. Иллюстрация образа

Для примера 1.4. образом множества Является множество

Композиция двух отображений и это отображение обозначаемое или иначе Иллюстрация композиции представлена на рис. 1.18.

Рис. 1.18.Иллюстрация композиции отображений

Из определения отображения очевидно, что поскольку должно быть: где И .

Пример 1.5. Пусть Множество людей, {январь, февраль,…}- множество месяцев года, Рассмотрим отображение, в котором ассоциируем каждого человека из с месяцем, в котором он родился и отображение , в котором каждому месяцу ставим в соответствие его номер от 1 до 12.

Тогда:

.

Точно так же можно получить композицию нескольких отображений. Можно только заметить, что в общем случае:

Отметим некоторые свойства отображений. Отображения и равны тогда и только тогда, когда каждый имеет один и тот же образ для обоих отображений, т. е.

Отображение Является инъекцией тогда и только тогда, когда двум разным элементам из Соответствуют разные элементы из , т. е.

Инъекция

Или иначе

Инъекция

Из последнего с очевидностью следует, что для инъективных отображений Справедливо (если И - конечные):

Пример 1.6. Пусть а отображение задано формулой . Такое отображение является инъекцией (см. рис. 1.19.)

Рис. 1.19. Иллюстрация примера 1.6

Можно отметить, что композиция иньекций И есть инъекция. Действительно:

А отсюда следует, что

Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда для каждого Существует хоть один элемент Такой, что Т. е.

Сюръекция

Или иначе

Сюръекция

Если И -конечные множества, то

Сюръекция

Пример 1.7. а отображение Определяется операция Взятие целой части действительного числа Тогда является сюръекцией, причем каждому соответствует бесконечное множество Например и т. д.

Заметим, что композиция сюръекций есть сюръекция. Действительно для сюръективных отображений и имеем:

и

Но тогда

Сюръекция.

Отображение называется биективным, если оно иньективно и сюръективно, т. е. взаимно однозначно (рис. 1.20). В этом случае видно, что для конечных множеств И

Рис. 1.20. Иллюстрация биективного отображения

Композиция двух биекций есть биекция. Это следует с очевидностью из предыдущих утверждений о композициях иньекций и сюръекций.

Обратное отображение для отображения определим следующим образом. Отображение такое что причем каждая пара , т. е.:

Но Есть отображение, если каждому элементу соответствует единственный элемент - С другой стороны Нас Отображения и каждому соответствует единственный Следоватально является биективным, т. е. взаимно-однозначным отобржением.

Вывод. Если - обратное отображение, то Является биекцией.

Пример 1.8. Отображение , задано функцией обратным отображением есть и

Композиция прямого и обратного отображений, является с очевидностью инвариантным (тождественным) отображением, т. е.

Тождественное отображение Это отображение, для которого справедливо Из этого следует

Пример 1.9. Пусть Моноид, т. е. множество всех подмножеств множества Е. Отображение Определим для любого множества Как взятие дополнения

Но тогда для обратного отображения получим

Откуда

Частным, но достаточно важным случаем отображения, является случай совпадения X и Y, т. е. отображения Г:Х®Х. При этом отображение Х самого в себя определяется парой (Х, Г), где ГÍХ2. Изучением таких отображений занимается, например, теория графов.

Примером графа может служить генеалогическое дерево (рис. 1.16), указывающее связь поколений. В этом графе точки – это люди, а стрелки указывают на «родительство».

Использование композиции отображений Г и Г позволяет записать и, если для графа на рис. 1.21. ГХ – множество детей, то Г2Х – множество внуков .


Г(ГХ)=Г2Х

Рис.1.21. Генеалогическое дерево, представленное графом

В общем случае для любого

Г k х=Г(Г k -1х), (1.54)

А введя по определению

Г0х=х, (1.55)

Можем для отрицательных k ввести соотношение

Г - k х=Г-1(Г –(k –1)х), (1.56)

Которое следует из (1.54) и (1.55)

Г0х=Г(Г-1х)=ГГ-1х,

Где Г-1 представляет собой обратное отображение. На графе рис. 1.14 Г-1Х – родители элемента Х, Г-2Х – прародители

Для обозначения некоторых специальных видов отображений, заданных на одном и том же множестве или на разных, применяют также термин «отношение», которые мы рассмотрим в следующем разделе. Рассматривая отображение F:X®Y как функцию, мы не накладывали на множество Х каких либо ограничений. Однако чаще всего мы работаем с функциями действительных переменных – одно или многоместными, которые производят отображения R®R или Rn®R.

Вместе с тем, в задачах управления системами многочисленны случаи, когда из всех видов управления (читай «из определенного класса функций времени») требуется выбрать то, которое доставит некоторому показателю качества управления наилучшее (оптимальное) значение. Таким образом, множество Х в этом случае есть некоторое множество (класс) функций, а Y –множество действительных чисел.

Тогда можем записать отображение

J:M(F(T))®R, (1.57)

Где M(f(t)) – множество действительных функций некоторого класса (кусочно-непрерывные, непрерывные, гладкие и т. п.). Такое отображение называется Функционалом, который записывается как J=J[f(t)]. Примерами функционалов могут служить следующие выражения:

1.  , где yÎM1- множество интегрируемых на функций;

2.  , где yÎM2 – множество дифференцируемых на функций.

Действительно для У1=sinX и Y2=-X3 получим:

Еще одним специфическим отображением является Оператор. Оператором L называется отображение

L:X®Y,

В котором X и Y являются множествами функций с элементами X(t) и Y(t), так что элементами множества L являются пары (X(t),y(t)). Говорят, что оператор L преобразует функцию X(t) в функцию

Представителем операторов является оператор дифференцирования , который можно записать, например, .

В задачах управления роль оператора часто выполняет сама управляемая система (рис.1.22), преобразующая по некоторому закону L входной сигнал Х(t).

Рис.1.22. Представление управляемой системы в виде оператора,
Соответствия, отображения, функции множеств - 4.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить