Множества
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Введем понятие Прямого произведения двух множеств А и В, обозначив его А´В, как множество пар (a, b) таких, что аÎА и bÎB. Так, например, если А={a, b,c, d,…,g, h}, B={1,2,…,8}, то А´В={(a,1), (a,2),…,(e,2),(e,4),…,(h,7),(h,8)} представляет собой множество клеток шахматной доски.

Если А и В есть множества действительных чисел R, то А´В=R´R=R2 и очевидно, что R´R={(x, y) | x, yÎR}, что определяет координаты точек (векторов) на плоскости.

Тогда в общем случае множеств A1,A2,…,An их прямое произведение A1´A2´…´An есть множество

A1´A2´…´An = {(a1,a2,…,an) | aiÎAi, i = }. (1.50)

Упорядоченный набор элементов a1,a2,…,an, таких, что aiÎAi, i= называется Вектором или Кортежем и обозначается

(a1,a2,…,an) или <a1,a2,…,an>.

Элементы, образующие вектор, называются Компонентами или Координатами. Два вектора a=(a1,a2,…,an) и b=(b1,b2,…,bm) равны между собой, если равны их длины, и равны соответственно координаты:

A = b Û m = n и ai = bi, .

Природа элементов векторов может быть различна. Например, если А – конечное множество символов некоторого языка, которое называется Алфавитом, то Аn=A´A´…´A является Множеством слов длиной n в алфавите А. Множество всех слов длины не более n в алфавите А – это множество

A* = = A1ÈA2È…ÈAn.

И, наконец, рассмотрим множества А и В такие, что элементами А являются векторы из Rm, т. е.

A = {(a1,a2,…,am) | aiÎR, i = },

А В состоит из векторов из Rn,

B = {(b1,b2,…,bn) | biÎR, i = }.

Тогда, по определению, полагается: , а, следовательно,

((a1,a2,…,an),(b1,b2,…,bn)) = (a1,a2,…,am, b1,b2,…,bn).

Однако в некоторых специальных случаях различают объекты . Например, можно рассмотреть матрицу:

,

Где аijÎR и каждая строка есть трехмерный вектор из R3. Тогда матрица как упорядоченный набор строк есть элемент множества . Компоненты матрицы не числа, а строки, поэтому (R3)4 ¹ R12, так как в противном случае R12 могло бы представлять матрицы 34 или 26, которые как математические объекты не совпадают с матрицами 43.

Приведенные примеры показывают, насколько внимательно и аккуратно нужно пользоваться прямым произведением множеств. Следует еще обратить внимание на возможное использование второго названия обсуждаемой операции – Декартово произведение множеств, связанное с предложенным Декартом координатным представлением точек плоскости. И третье название операции – Картезианское произведение.

Прямые произведения двух множеств можно интерпретировать графически. Для этого выберем две оси (рис.1.10), на первой отложим элементы множества A = {x, y,z}, а на второй элементы B={1,2,3}. Точки пересечения являются элементами АВ. Именно в связи с этим представлением пары (a, b) первый элемент называется Абсциссой, а второй – Ординатой.

Рис.1.10. Графическая интерпретация прямого произведения

Второй вариант представления АВ – табличный (рис.1.11).

A

B

1

2

3

X

(x,1)

(x,2)

(x,3)

Y

(y,1)

(y,2)

(y,3)

Z

(z,1)

(z,2)

(z,3)

Рис.1.11. Табличная интерпретация прямого произведения

Следует заметить, что для двух множеств А и В прямое произведение не обладает Коммутативностью (см. рис.1.10 – 1.11) и в общем случае, в силу определения прямого произведения и вектора, следует, что

ABYZ ¹ BAYZ ¹…¹ ZYBA.

Пусть заданы конечные множества Аi, i=, мощности которых равны

| Ai | = mi, i = ,

Тогда справедливо утверждение.

| A1A2…´An | = | A1 |×| A2 |×××| An | = m1×m2×××mn.

Справедливость этого утверждения можно доказать по индукции. Для n=1, | A1 | = m1, для n =2 | A1´A2 | = m1m2 и это не вызывает сомнения. Тогда положим, что утверждение справедливо для n-1 множеств, т. е. для B=A1´A2´…´An-1

| B | = | A1´A2´…´An-1 | = m1m2×××mn-1.

Для n множеств получим B´An и

| B´An | = | B |×| An | = (m1m2×××mn-1)×mn = m1m2×××mn.

Следствием доказанного утверждения является соотношение

| An | = | A |n.

Рассматривая векторы, введём понятие проекции вектора V =(a1,a2,…,an), VÎA1´A2´…´An и приравняем её i-й компоненте вектора, т. е.

Точно так же проекция вектора V = (a1,a2,…,an) на оси i1,i2,…,ik равна

.

Если V – множество векторов V = {v | vÎV, VÌA}, где A = A1´A2´…´An, то

(1.51)

И аналогично

(1.52)

Если же V = A1´A2´…´An, то

В общем случае, для VÍ A1´A2´…´An

.

Задачи и упражнения

1.  Даны множества A = {1,2}, B = {a, b,c}. Найти множества A´B и B´A.

2.  Даны множества A = {x, y}, B = {1,2}, C = {2,3}. Найти множества A´(BÇC) и (A´B)Ç(A´C).

3.  Покажите, что справедливо AÌE и BÌF Þ (A´B)Ì(E´F).

4.  Найти геометрическую интерпретацию множества A´B, где A = [0,1], B – множество точек квадрата с вершинами в точках (0;0), (0;1), (1;0), (1;1).

5. Доказать, что (A´B)È(C´D)Í(AÈC)´(BÈD). При каких A, B,C и D включение можно заменить равенством?

6. Доказать, что при произвольных A, B,C, D:

А) (AÇB)´(CÇD) = (A´C)Ç(B´D);

Б) (AÈB)´C = (A´C)È(B´C);

В) (A\B)´C = (A´C)\(B´C);

Г) A´(B\C) = (A´B)\(A´C).

7. Пусть A, B ¹ Æ и (А´B)È(B´A) = C´D. Докажите, что A=B=C=D.

8. Изобразить A´R и R´A, где R – множество действительных чисел и A=[2,3].

9. Изобразить на вещественной плоскости R2 = R´R множества X´Y и Y´X, где X = {xÎR | 0£ x£1}, .

10. Для множества M = {(x, y)ÎR2 | (x-2)2+y2 =1} найти Пр1М и Пр2М.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить