Множества
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Диаграммы Эйлера (Эйлера-Венна)

Пусть имеется два множества и , причем, если из того, что для любого элемента следует, что , тогда говорят, что является подмножеством . Символически это утверждение записывается следующим образом:

. (1.17)

Если множества равны, то справедливо:

. (1.18)

Однако, если , но , то говорят, что является строгим подмножеством , т. е.

. (1.19)

Отрицания последних высказываний (1.17)-(1.19) имеют вид сответ-ственно:

, (1.20)

, (1.21)

. (1.22)

Например, если = {1,2,3,…}, то для элементов множества = {2,4,6,…} всегда можно записать, что

.

Очевидно, что всегда можно записать , так как .

Если на плоскости под каждое множество выделить некоторое множество точек, заключенных внутри некоторой замкнутой кривой, то получим диаграмму Эйлера (Эйлера – Венна). Для иллюстрации множеств и подмножеств на рис.1.3 представлены некоторые варианты соотношений между парой множеств.

Рис.1.3. Возможные соотношения множеств

Очевидно, что пустое множество является подмножеством любого множества:

Æ. (1.23)

Если рассмотреть два множества А и В, заданных по «форме от » :

То

Таким образом:

. (1.24)

Например, пусть ={ – целые, кратные 10}, ={ – целые, кратные 5}, и в соответствии с (1.24), Û[кратное 10 Þ кратное 5].

Для произвольных множеств и , таких, что и выполняется соотношение , т. е.

* и Þ, (1.25)

Которое проиллюстрировано на рис.1.4.

Рис.1.4. Иллюстрация соотношения

Относительно соотношений мощностей конечных множеств можно записать:

(1.26)

Где знак равенства возможен при взаимнооднозначном соответствии, т. е. при .

Рассмотрим теперь множество такое, что и множество всех возможных подмножеств , которое обозначим или . называется Множеством-степенью или Моноидом И записывается:

, (1.27)

Или

. (1.28)

Очевидно, что, так как ÆÌ и , то ÆÎ и .

Для определения мощности множества , где представим как последовательность элементов

Для каждого подмножества множества наличие элемента в нем укажем в списке установкой 1 на -ом месте, а отсутствие – 0. Тогда пустое множество изобразится записью

,

А исходное множество записью

Следовательно, совпадает с числом различных двоичных чисел, изображаемых «словом» длиной n символов (каждый символ принимает два значения: 0 и 1). Очевидно, что число различных таких чисел равно основанию (2) в степени, равной длине «слова» - n, т. е.

. (1.29)

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить