Диаграммы Эйлера (Эйлера-Венна)
Пусть имеется два множества 
и 
, причем, если из того, что для любого элемента 
следует, что 
, тогда говорят, что является подмножеством . Символически это утверждение записывается следующим образом:
. (1.17)
Если множества равны, то справедливо:
. (1.18)
Однако, если 
, но 
, то говорят, что является строгим подмножеством 
, т. е.
. (1.19)
Отрицания последних высказываний (1.17)-(1.19) имеют вид сответ-ственно:
, (1.20)
, (1.21)
. (1.22)
Например, если 
= {1,2,3,…}, то для элементов множества = {2,4,6,…} всегда можно записать, что
.
Очевидно, что всегда можно записать 
, так как 
.
Если на плоскости под каждое множество выделить некоторое множество точек, заключенных внутри некоторой замкнутой кривой, то получим диаграмму Эйлера (Эйлера – Венна). Для иллюстрации множеств и подмножеств на рис.1.3 представлены некоторые варианты соотношений между парой множеств.
Рис.1.3. Возможные соотношения множеств
Очевидно, что пустое множество является подмножеством любого множества:
Æ
. (1.23)
Если рассмотреть два множества А и В, заданных по «форме от 
» :
То
Таким образом:
. (1.24)
Например, пусть ={
– целые, кратные 10}, ={ – целые, кратные 5}, и в соответствии с (1.24), 
Û[кратное 10 Þ кратное 5].
Для произвольных множеств 
и 
, таких, что и 
выполняется соотношение 
, т. е.
и Þ, (1.25)
Которое проиллюстрировано на рис.1.4.
Рис.1.4. Иллюстрация соотношения 
Относительно соотношений мощностей конечных множеств можно записать:
(1.26)
Где знак равенства возможен при взаимнооднозначном соответствии, т. е. при 
.
Рассмотрим теперь множество такое, что 
и множество всех возможных подмножеств , которое обозначим 
или 
. называется Множеством-степенью или Моноидом И записывается:
, (1.27)
Или
. (1.28)
Очевидно, что, так как ÆÌ и , то ÆÎ и 
.
Для определения мощности множества , где представим как последовательность элементов
Для каждого подмножества множества наличие элемента 
в нем укажем в списке установкой 1 на 
-ом месте, а отсутствие – 0. Тогда пустое множество изобразится записью
,
А исходное множество записью
Следовательно, 
совпадает с числом различных двоичных чисел, изображаемых «словом» длиной n символов (каждый символ принимает два значения: 0 и 1). Очевидно, что число различных таких чисел равно основанию (2) в степени, равной длине «слова» - n, т. е.
. (1.29)