Множества
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.00 (1 Голос)

 

Пусть некоторое множество, содержащее все элементы, которые могут быть использованы в некоторый момент их рассмотрения. Такое множество назовем Универсальным. Тогда для любого множества справедливо АÎP(E).

Рис.1.5. Соотношение и дополнения

Назовем Дополнением в множество или такое, что

. (1.30)

Например, для ={1,2,3,4,5} и ={2,4} Þ ={1,3,5}. Иллюстрация дополнения на диаграмме Эйлера представлена на рис. 1.5. Если множество задано по форме от , то определяется следующей эквиваленцией:

, (1.31)

Откуда следует ÛÛÎ, а отсюда:

. (1.32)

Из свойств дополнений можно отметить:

1.  = Æ и =,

2.  =Û,

3.  ÛÍ.

Последнюю эквиваленцию для примера докажем. Если AÍB, то Þ и Þ и Þ и, как следствие,

.

Если же Í, то

А, следовательно,

Эквиваленция доказана.

Если А и В заданы «формулами от » и соответственно, то утверждение ÛÍ эквивалентно следующему

. (1.33)

Иногда для множеств и , таких, что вводят понятие дополнения до и обозначается

. (1.34)

Положим и и определим Объединение множеств , элементы которого принадлежат или (рис.1.6) или иначе:

Рис.1.6. Иллюстрация объединения множеств

. (1.35)

Если и определены через формы от и соответственно, то

.

Из свойств объединения отметим:

1.  ,

2. 

3.  , то есть [P(X) или P(X)] Û P(X),

4.  Коммутативность: AÈB = BÈA, то есть [P(X) или Q(X)] Û [Q(X) или P(X)],

5.  Ассоциативность: AÈ(BÈC) = (AÈB)ÈC.

Следует отметить, что

А, следовательно, можно записать

. (1.36)

Пример 1.1.

A)  Если A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6} Þ AÈB = {1,2,3,4,5,6}.

Б) Если A = {X | X Кратное 5}, B = {X | X кратное 2} Þ AÈB = {X | X кратное 5 или Х кратное 2}. Если xÏAÈB Þ (X не кратное 5 и не кратное 2).

Теперь для множеств и введем множество, называемое Пересечением А и В: ,такое, что его элементы принадлежат и А и В (рис.1.7), т. е.:

Рис.1.7. Иллюстрация пересечения множеств

,

Или

. (1.37)

Пример 1.2.

A)  A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6} Þ AÇB = {3,4}.

B)  Если A = {X | X кратное 5} и B = {X | X кратное 2} Þ AÇB = {X | X кратное 5 и кратное 2} = {X | X кратное 10}.

Если и заданы как формы от и соответственно:

Заметим, что

,

Так что справедливо

. (1.38)

Если АÇВ=Æ, то множества и называются Непересекающимися.

К свойствам операции пересечения можно отнести:

1. 

2. 

3.  , то есть

4.  Коммутативность: , то есть

5.  Ассоциативность: AÇ(BÇC) = (AÇB)ÇC = AÇBÇC.

Взаимодействие операций объединения и пересечения множеств рассмотрим на множествах , заданных на свойствах соответственно:

1.  Дистрибутивность пересечения относительно объединения:

, (1.39)

То есть (опуская аргумент Х):

.

Действительно:

2. Дистрибутивность объединения относительно пересечения:

(1.40)

То есть

.

Доказательство этого свойства такое же, как в предыдущем случае.

3. Исходя из принципа исключения третьего справедливо:

,

.

4. Теорема де Моргана

(1.41)

Действительно, используя (1.38), получим:

Û ( и ) Û [( или ) и ] Û [ и ] или [ и ] Û Или .

Точно так же, используя (1.30), можно доказать, что

. (1.42)

Для множеств и можно ввести операцию «Вычитания» множеств A\BÎP(E), которая определяет множество элементов, принадлежащих и не принадлежащих (рис.1.8).

Рис.1.8. Иллюстрация разности множеств

,

Или

. (1.43)

Пример 1.3.

1)  A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, A\B={1,2}.

2) A={X | X кратно 5}, B={X | X кратно 2} Þ A\B={X | X кратно 5 и Х не кратно 2}Þ A\B={X | X оканчивается на 5}.

Если и заданы формами от , и соответственно, то

. (1.44)

Запись (1.43) можно видоизменить, учитывая, что

,

Тогда

(1.45)

Или иначе

,

Что и отражается в (1.44). Очевидно, что, если A¹B, то:

.

Используя понятие разности множеств, выражение (1.34) для дополнения B при AÍB можно записать

.

Учитывая свойства операций объединения и пересечения можем установить так называемые «законы поглощения»:

(1.46)

(1.47)

Для доказательства (1.46) предварительно покажем, что

.

Действительно, например, для первого соотношения

Û и Þ .

Кроме того, если , так как (Или ) Þ ( или ) Þ . Теперь в (1.46) можем записать , а отсюда .

Для доказательства (1.47) следует учесть, что

,

Так, например,

Þ ( или ) Þ .

Но тогда, если обозначить , то получим:

( и ) Þ ( и ) Þ .

Рассмотрим теперь вопрос о мощности множеств, получаемых при операциях с ними. Пусть заданы A1,A2,…,AnÎP(E), причём | Ai | = ni. Рассмотрим объединение . Тогда число можно получить, перечислив все элементы , а затем все элементы . Но в этом случае общие элементы будут перечислены дважды (рис.1.6), т. е.:

| A1 | + | A2 | = | A1ÈA2 | + |A1ÇA2| Û |A1ÈA2| = |A1| + |A2| - |A1ÇA2|. (1.48)

Для трёх множеств, используя (1.48), получим:

Тогда по индукции можем для объединения n множеств записать

(1.49)

Операции над множествами - 4.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить