Множества
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Общие положения

Высказывание – это утверждение, выражаемое словами, о котором мы в определенной ситуации можем сказать, что оно истинно или ложно.

1) «Все люди смертны» является высказыванием, которое истинно всегда.

2) «Киев является столицей Беларуси» – ложное высказывание.

3) «Медиана к стороне треугольника равна половине » является высказыванием, которое истинно для треугольников с прямым углом и ложно в других случаях.

4) «Является сыном , живет в Луганске, а отец живет в Киеве» является утверждением, которое абсурдно. Такое утверждение не является высказыванием.

5) «Житель города говорит, что все жители города лжецы». Такое предложение абсурдно, так как, если говорит правду, то он – лжец, ведь он житель города . Если слова – ложь, то он лжет, что все жители лжецы, а значит они не лжецы, а, следовательно, и он не лжец. Такое утверждение не является высказыванием, а называется парадоксом.

Отрицание высказывания определим как «Не » (). Например:

6) «Киев не является столицей Беларуси» – высказывание является отрицанием высказывания 2).

7) « не равно » (), является отрицанием высказывания « равно » ().

Отрицание отрицания высказывания есть , т. е.

. (1.1)

Принцип исключения третьего Заключается в том, что в определенной ситуации истинным является либо , либо , а и не могут быть истинными одновременно. Высказывание ложно, если истинно. Если в одно и то же время истинно и ложно, то это абсурд или противоречие.

Среди логических символов выделим два:

- Импликация, которая означает, что высказывание влечет за собой высказывание , или иначе – если истинно, то истинно. Символическая запись импликации имеет вид

. (1.2)

Например : «» Þ «», « является отцом » Þ « старше ».

- Эквивалентность, которая означает, что влечет за собой и влечет за собой . Таким образом, можем записать, что эквивалентность соответствует

и ,

А, следовательно,

. (1.3)

Например, если высказывание «а – прямая линия, параллельная плоскости », а – высказывание « – прямая линия, параллельная прямой, принадлежащей плоскости », то и утверждается : необходимым и достаточным условием для истинности является истинность .

1.2.  Понятие множества. Описание и свойства

Понятия Множества И Элемента Множества очень часто встречаются в математике. Эти понятия настолько общие, что невозможно дать какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене понятия “множества” равнозначными выражениями: совокупность, собрание элементов и т. п.

Поэтому понятие Множества И Элемента множества Являются исходными в математике и формально не определены, поэтому введем их интуитивно и опишем некоторые правила их использования.

Будем обозначать Множества Заглавными буквами , , …, элементы – маленькими буквами ,…, а Отношение принадлежности Элемента множеству – символом Î.

Таким образом, множество состоит из объектов, называемых элементами. Высказывание «элемент принадлежит множеству » записывается

, (1.4)

А высказывание записывается

. (1.5)

В соответствии с принципом исключения третьего одно из высказываний «» или «» является истинным, а другое ложным.

Множества можно задавать несколькими, способами и первый из них – перечисление. Например, если множество состоит из элементов , и , тогда пишут:

.

Для множества натуральных чисел можно записать:

,

Для множества студентов в группе :

={фамилия1, фамилия2,…}.

Другой способ задания множества – это с помощью некоторого правила – алгоритма, на основании которого можно изучить последовательно все элементы множества.

Например: a); b) если , то и мы получим ={1, 2, 4, 8,…}. Правила, используемые в такой порождающей процедуре, называют Индуктивными Или Рекурсивными.

Распространенной порождающей процедурой является образование множеств из других множеств с помощью операций над множествами. Этот подход будет рассмотрен в разделе 1.4.

Еще одним способом задания множеств является способ, который состоит в определении некоторого свойства математического объекта. Этот способ называется заданием «формы от ». Под «формой от » будем понимать конечную последовательность слов и символа , такую, что при подстановке вместо X Некоторого объекта получим истинное или ложное высказывание.

Например, «», « - студент такой-то группы». Если форму от обозначить как высказывание , то можно сказать, что всякая форма определяет некоторое множество , именно тех и только тех объектов , для которых – истинное высказывание. В этом случае обозначают

. (1.6)

Например, определяет множество четных чисел.

Множество является Четко определенным, если для любого объекта мы можем однозначно ответить, является ли он элементом или нет. Так, например, множество = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} является четко определенным, поскольку любые объекты, не входящие в указанный перечень цифр, не являются элементами .

С другой стороны, рассмотрим совокупность мужчин некоторого селения, которые бреются. Часть могут бриться сами, а остальные бреются у единственного в селе парикмахера . Рассмотрим мужчин, которые бреются у парикмахера. Образуют ли они множество ? Основной вопрос в парикмахере . Если , то парикмахер не бреется сам, но бреется у парикмахера (а это он сам). Получается противоречие, и – абсурд. Если , то парикмахер бреется сам, и он не бреется у парикмахера (которым он сам является). Таким образом, и – абсурд. Следовательно, мы имеем пример отсутствия четко определенного множества.

Мы не можем говорить о множестве , состоящем из всех множеств, так как в этом случае получим бессмысленное выражение . Действительно: слева стоит объект – элемент, а справа – тот же объект, но множество. Причем мы не имеем права переставить символ Î в противоположную сторону.

Среди всех множеств выделим множество, не содержащее ни одного элемента – пустое множество Æ. Для любого элемента a всегда можно записать .

Например, множество положительных целых чисел, кратных 2 и являющихся делителем 15, есть пустое множество.

Следует отличать элемент a от множества, состоящего из единственного элемента a ( множество Синглет) {a}. Правильная запись , но неверно ни aÎa, ни {a}Î{a}. Точно так же объекты Æ и {Æ} являются разными объектами, и никогда нельзя писать Æ ={Æ}.

В математике для точных определений используются специальные символы – кванторы, требующие таких же точных правил их использования.

Квантор общности () используется вместо выражения «каков бы ни был » или «любой », принадлежащий , обладает свойством , и записывается следующим образом:

. (1.7)

Квантор существования ($) используется вместо выражения «существует по крайней мере единственный », принадлежащий и имеющий свойство и записывается следующим образом:

. (1.8)

Пусть множество таких элементов, которые обладают свойствами , тогда значит, что все элементы обладают свойствами . Отрицание последнего высказывания имеет вид:

, (1.9)

И звучит: «Существует (по меньшей мере единственный) , который не обладает свойством .

Из свойства можно вывести, что

.

Мы всегда можем записать, назвав свойством Р¢ свойство :

и ,

Откуда .

Следовательно:

. (1.10)

Например, отрицание высказывания «Все скандинавы блондины» звучит «Существует по меньшей мере один скандинав, который не является блондином». Заметим, что отрицание высказывания, включающего кванторы, состоит в замене " на $ и на одновременно. Символ ( | ), который мы используем перед описанием свойств , имеет смысл «такой, что» или «такое, что», иногда вместо него используется двоеточие (:).

Рассматривая множества, можно заметить, что некоторые из них, определяемые различными высказываниями, состоят из одних и тех же элементов. Например, пусть в трехмерном пространстве заданы две точки и . Обозначим через множество точек , эквидистантных к и и – множество точек, принадлежащих плоскости , перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину :

,

Очевидно, что и содержат одни и те же элементы. В таком случае записывают:

. (1.11)

В общем случае для доказательства тождества на множествах нужно доказать, что каждый элемент множества является и элементом множества , и обратное, что каждый элемент принадлежит :

и . (1.12)

Отрицание высказывания “ E = F “ есть “ E ¹ F “, которое значит, что существует по меньшей мере один элемент, принадлежащий одному множеству и не принадлежащий другому:

Или .(1.13)

Если два множества заданы выражениями:

Тогда равенство переходит в выражение

. (1.14)

В рассмотренном выше примере равенство переходит в:

и и .

Подобным же образом, очевидно:

или . 1.15)

Рассматривая различные множества, можем заметить, что некоторые из них содержат конечное число элементов. Например: «множество символов английского алфавита», «множество студентов в группе» и т. д. Такие множества, содержащие Конечное число элементов, называются Конечными, и для них вводится понятие Мощности множества, равное Числу элементов в нем и обозначаемое , и т. п. Например, если = {1,2}, , то ,

и | Æ | = 0.

Очевидно, что для конечных множеств:

. (1.16)

Если число элементов не ограничено, например: «множество неотрицательных действительных чисел» или «множество положительных целых чисел», то говорят, что эти множества Бесконечные. Вместе с тем очевидно, что приведенные в примере множества существенно разнятся.

Назовем Счетным множеством всякое множество, элементы которого можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с элементами множества натуральных чисел. Таким образом, счетное множество – это множество, элементы которого можно перенумеровать в бесконечную последовательность : а1,а2,…,an,….

Например, для множества всех целых чисел установим соответствие между всеми целыми и всеми натуральными числами по схеме:

0

-1

1

-2

2

1

2

3

4

5

…,

Т. е. всякому неотрицательному ставим в соответствие число , а отрицательному – четное :

.

Для множества всех четных положительных чисел можно ввести соответствие .

С другой стороны, можно рассмотреть бесконечное множество действительных чисел между 0 и 1. Такое множество уже Несчетно. Однако и для несчетных множеств можно устанавливать взаимно однозначное соответствие. Так, с помощью проекции отрезка [0,1] на любой конечный отрезок (рис.1.1) можно показать соответствие этих множеств. Точно также можно показать соответствие множества точек на плоскости, множеству точек на сфере (рис.1.2)

Рис.1.1. Соответствие между отрезками Рис.1.2. Соответствие точек на

[0,1] и плоскости ,

и на сфере . ,

Два множества и называются Эквивалентными , если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить