Множества
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Задачи и упражнения

1.  Сформулируйте отрицание следующих высказываний:

А) среди людей есть бессмертные.

B)  б) все лекции длинные и трудные.

В) все люди страдают головокружением или головной болью.

Г) в этом саду цветы сиреневые и душистые.

Д) точка M лежит на прямой D1 и на прямой D2.

Е) прямая D содержит точки M и N.

Ж) число Х принадлежит интервалу [5,10].

З) прямая D перпендикулярна всем прямым плоскости P.

2.  Используя символы множеств и операций, отобразить выделенные области диаграмм Эйлера:

Рис.1.9. Варианты множеств

3. Для множеств А={0,2,7}, B={-3,0,6}, E=AÈB определите È, A\B, B\A.

4. В каком случае справедливо: AÈB = A; AÇB=A; AÈB=BÇA; A=Æ; A=A;A=B?

5. Для произвольных А, В и С докажите, что S=T, если

A) E=AÈB; F=AÈC; S=EÇF; T=AÈ(BÇC).

Б) E=AÇB; F=AÇC; S=EÈF; T=AÇ(BÈC).

6. Упростите следующие выражения:

AÇ[(AÇB)ÇB]; ÆÇ(AÇB); (AÇB)Ç(BÇC); (AÈB)Ç(BÈC)Ç(CÈA);

[AÈ(AÇB)]ÇB; [ÆÈ(AÇÆ)ÈB]ÈÆ.

7. Пусть даны А и В. Всегда ли можно найти множество Х такое, что:

A)  AÈX=B;

Б) AÇX=B?

8. Что можно сказать о множествах ЕÌF, FÌG и GÌE?

9. Докажите следующие эквиваленции:

AÈB=A Û BÍA; AÇB=A Û AÍB; ÈB=E Û AÍB;

ÇB=Æ Û BÍA; AÍB Û Í.

10. Пусть: X = (AÈB)Ç(AÈ), Y = (. Докажите, что X=.

11. Докажите следующие эквиваленции:

BÌC Û (AÈB)Ì(AÈC); BÌC Û (AÇB)Ì(AÌC).

12. Докажите, что: DÌA, DÌB и DÌC Þ DÌ(AÇBÇC); AÌD, BÌD и CÌD Þ (AÈBÈC)ÌD.

13. Полагая, что A={x, {x, y}}, B={x, y,z}, C={{x, y,z}, {y, z}, {x, y}}, найдите множества AÇB, BÇC, AÈC, AÈBÈC и AÇC.

14. Пусть AÎP(E) и BÎP(E), и они определены свойствами p(x) и q(x). Используя диаграммы Эйлера покажите подмножества, соответствующие свойствам:

.

В каком случае мы имеем: P Þ Q?; Q Þ P?; P Û Q?

15.Какое Логическое выражение соответствует следующей эквиваленции:

16. Пусть даны A, B,C и P(E). Найти следующие множества:

; ; ; ; È(AÇB).

17. Докажите, что EÍF Û P(E)ÍP(F).

18. Для множеств A и B, P(A) и P(B)

A) покажите, что AÌB Þ P(A)ÌP(B). Верно ли обратное утверждение?

Б) установите, что это такое: P(Æ)?, P(P(Æ))?

C) в) какое соотношение существует между множествами:

P(AÇB) и P(A)ÇP(B) ?

P(AÈB) и P(A)ÈP(B) ?

19. Определим на P(E) операцию Симметричной разности множеств A, BÎP(E), обозначив её AB. Элемент XÎAB, если (XÎA и XÏB) или (XÎB и XÏA). Рассмотрите и проанализируйте эту операцию.

А) изобразите AB на диаграмме Эйлера.

Б) является ли эта операция коммутативной? ассоциативной?

В) определите AA, AÆ и AE.

Г) является ли операция дистрибутивной относительно пересечения? объединения?

20. Упростите выражения: и

21. Для A, BÎP(E), таких что AÇB¹Æ изобразите диаграммы Ç и .

22. Заданы множества A, BÎP(E), причём | A | = 40, | B | = 30. Какими могут быть | AÈB | и | AÇB |?

23. Заданы множества A, B,CÎP(E),причём | A | = 50, | B | = 20, | C | =20, |AÇB | = 10, | BÇC | = 10. Какими могут быть | AÇC | и |AÈBÈC |?

24. Докажите, что любое бесконечное подмножество множества натуральных чисел является счётным.

25. Доказать, что {{1,2},{2,3}} ¹ {1,2,3}.

26. Существуют ли такие множества A, B и C, что AÇC ¹ Æ, BÇC = Æ, (AÇB)\ C =Æ?

27. Доказать следующие тождества

А);

Б) ;

В) ;

Г) ;

Д) ;

Е) ;

Ж) .

28. Докажите, что:

А) и ;

Б) и ;

В);

Г).

29. Какие из утверждений верны для всех A, B,CÎP(E):

А) и Þ ;

Б) и Þ ;

В) и Þ ;

Г) и ?

30. Решить систему уравнений

31. Множество Е содержит 35 элементов. Относительно множеств А, ВÎР(Е) известно, что | A |=20; | B |=11; =10. Найти | AÇB | и | AÇ|.

32. Из 100 студентов английский знают 28 студентов, немецкий - 30, французский - 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все три языка знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из трех языков?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить