Лекции по высшей математике
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

ЛЕКЦІЯ №23

ТЕМА:

Статечні ряди. Область збіжності статечного ряду. Властивості статечних рядів.

Питання лекції:

1. Визначення статечного ряду.

1.  Область збіжності статечного ряду.

2.  Ряди Тейлора і Маклорена. Формула Тейлора.

3.  Застосування рядів в наближених обчисленнях.

Область збіжності статечного ряду

1.  Статечним поряд називається ряд

, (14.1)

Де с0, с1 ., сП – коефіцієнти статечного ряду.

2.  Областю збіжності статечного ряду називається сукупність тих значень Х, при яких статечною ряд сходиться.

3.  Число R – таке, що при |х| < R ряд сходиться, а при |х| > R – розходиться, называется радіусом збіжності статечного ряду.

Інтервал (-R; R) називається інтервалом збіжності статечного ряду. При х = - R, x= R ряд може як сходитися, так і розходитися.

4.  Радіус збіжності статечного ряду може бути знайдений по формулі:

(14.2)

Формула застосовна, якщо, починаючи з деякого номера П, все Сп %0.

Для статечного ряду вигляду

(14.3)

Радіус збіжності знаходиться по формулі, а інтервал збіжності з умови |Х - А| < R., тобто має вигляд: (а – R, а + R).

14.1  Знайти область збіжності статечного ряду:

Рішення: Знайдемо радіус збіжності ряду по формулі: (14.2):

,

Тобто інтервал збіжності ряду

Тепер з'ясуємо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності. На лівому кінці при даний статечною ряд приймає вигляд цей ряд сходиться за ознакою Лейбніца. На правому кінці при отримуємо ряд представляючий узагальнений гармонійний ряд при α = 4, у якого всі члени з парними номерами рівні нулю. Оскільки α = 4 > 1, то цей ряд сходиться.

Слід зазначити, що збіжність ряду на лівому кінці інтервалу збіжності при могла бути встановлена за допомогою достатньої ознаки збіжності знакозмінного ряду, оскільки ряд, складений з абсолютних величин його членів, тобто ряд, сходиться. Отже, область збіжності даного ряду .

Звертаємо увагу на те, що при дослідженні збіжності статечного ряду на кінцях інтервалу збіжності за ситуації, коли отримуваний ряд – з позитивними членами, застосовувати ознаку Даламбера не має сенсу, оскільки при цьому завжди отримуватимемо з невирішеним питанням про збіжність ряду; в цьому випадку рекомендується розглядати інші ознаки збіжності (наприклад ознака порівняння, інтегральна, необхідна ознака і так далі).

Ряди Тейлора і Маклорена. Формула Тейлора

1.  Якщо функція F(x) має похідні будь-якого порядку в околиці точки Х = 0, то для функції F(x) може бути отриманий ряд Маклорена:

(14.4)

Для того, щоб ряд Маклорена сходилися до функції F(x), Необхідно і

Достатньо, щоб N>%, Залишок ряду прагнув до нуля, тобто

(14.5)

Для всіх значень Х З інтервалу збіжності ряду.

2.  Розкладання в ряд Маклорена деяких функцій

3.  Ряд Маклорена (при х0 = 0) є окремим випадком ряду Тейлора:

Ряд Тейлора тісно пов'язаний з формулою Тейлора:

Де Rn – залишковий член формули Тейлора:

Записаний у формі Лагранжа.

При виконанні умови (14.5) залишок Rn(x) ряду Тейлора рівний залишковому членові Rn(x) формули Тейлора.

4.  Властивості статечних рядів:

А) Якщо F(x) – сума статечного ряду, тобто, то на будь-якому відрізку [а, b], що цілком належить інтервалу збіжності (-R; R), функція f(x) є безперервною, а статечною ряд можна почленно інтегрувати на цьому відрізку:

.

Б) У інтервалі збіжності статечною ряд можна почленно диференціювати:

.

При цьому ряди мають той же радіус збіжності R, що і початковий ряд.

5.  Якщо в деякій околиці точки х = 0 мають місце розкладання

Той твір функції f(x) ц(x) розкладається в тій же околиці в статечній ряд

(правило перемножування рядів).

Зокрема, при f(x)= ц(x)

(правило зведення ряду в квадрат)

Почленноє інтеграція і диференціювання статечних рядів (властивості 14.16, 14.17) можуть бути використані при знаходженні суми статечного ряду.

14.22 Знайти суму ряду

А) –2х+4х3 –6х5+8х7 - .(-1)П (2п) х2П-1 +.;

Б) .

Рішення:

А) Можна відмітити, що почленна інтеграція даного ряду (на відрізку [0;х], де х є (-1; 1)) приведе до геометричного ряду (14.22), сума якого відома:

-х2 + х4 – х6 + х8 - . + (-1)Пх2п = . . (14.22)

Вважаючи а = - х 2, q = - x2, знайдемо суму ряду (14.22):

Або

Повертаючись до початкового ряду, знаходимо його суму диференціюванням S(x). Отже, сума даного в умові ряду

Б) даний ряд може бути приведений почленным диференціюванням в інтервалі збіжності до геометричного ряду сума якого рівна Суму початкового ряду знаходимо інтеграцією на відрізку [0;х], де х є (-1; 1):

Існує декілька способів розкладання функцій в статечній ряд. Проілюструємо їх на конкретних прикладах.

Безпосереднє розкладання

14.23 Розкласти в ряд по ступенях х функцію = (3+е-х)2.

Знайдемо похідні функції і її значення в точці х = 0:

Тепер по формулі (14.4):

.

Область збіжності ряду (14.1) є (- Ќ; +Ќ).

Застосування рядів в наближених обчисленнях

 

Статечні ряди можуть бути використані для наближеного обчислення значень різних функцій, певних інтегралів (зокрема що не «беруться»), знаходження меж і тому подібне

14.58 Обчислити приблизно з точністю до 0,0001:

А) ; б) ln 0,6.

Рішення:

А) Для обчислення запишемо ряд (14.6) при, що належить області збіжності (-Ќ; +Ќ):

Узявши перших сім членів розкладання, на підставі наслідку з теореми Лейбніца для законочередующегося ряду, що сходиться, ми допустимо погрішність, що не перевищує першого відкинутого члена (по абсолютній величині), тобто

Отже, складаючи перших сім членів, отримаємо:

Точніше оцінити погрішність обчислення можна, використовуючи формулу Тейлора (14.14). Взявши за величину Ех перші (П+1) членів ряду (разом з нульовим), ми припускаємося похибки, визначуваної залишковим членом Rn (14.15) при Х0 = 0, 0<ξ<х або х<ξ<0:

Для функції . Отже, при х = -3/4

ЛЕКЦІЯ №23

ТЕМА:

Статечні ряди. Область збіжності статечного ряду. Властивості статечних рядів.

Питання лекції:

1. Визначення статечного ряду.

1.  Область збіжності статечного ряду.

2.  Ряди Тейлора і Маклорена. Формула Тейлора.

3.  Застосування рядів в наближених обчисленнях.

Область збіжності статечного ряду

1.  Статечним поряд називається ряд


, (14.1)

Де с0, с1 ., сП – коефіцієнти статечного ряду.

2.  Областю збіжності статечного ряду називається сукупність тих значень Х, при яких статечною ряд сходиться.

3.  Число R – таке, що при |х| < R ряд сходиться, а при |х| > R – розходиться, называется радіусом збіжності статечного ряду.

Інтервал (-R; R) називається інтервалом збіжності статечного ряду. При х = - R, x= R ряд може як сходитися, так і розходитися.

4.  Радіус збіжності статечного ряду може бути знайдений по формулі:

(14.2)

Формула застосовна, якщо, починаючи з деякого номера П, все Сп %0.

Для статечного ряду вигляду

(14.3)

Радіус збіжності знаходиться по формулі, а інтервал збіжності з умови |Х - А| < R., тобто має вигляд: (а – R, а + R).

14.1  Знайти область збіжності статечного ряду:

Рішення: Знайдемо радіус збіжності ряду по формулі: (14.2):

,

Тобто інтервал збіжності ряду

Тепер з'ясуємо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності. На лівому кінці при даний статечною ряд приймає вигляд цей ряд сходиться за ознакою Лейбніца. На правому кінці при отримуємо ряд представляючий узагальнений гармонійний ряд при α = 4, у якого всі члени з парними номерами рівні нулю. Оскільки α = 4 > 1, то цей ряд сходиться.

Слід зазначити, що збіжність ряду на лівому кінці інтервалу збіжності при могла бути встановлена за допомогою достатньої ознаки збіжності знакозмінного ряду, оскільки ряд, складений з абсолютних величин його членів, тобто ряд, сходиться. Отже, область збіжності даного ряду .

Звертаємо увагу на те, що при дослідженні збіжності статечного ряду на кінцях інтервалу збіжності за ситуації, коли отримуваний ряд – з позитивними членами, застосовувати ознаку Даламбера не має сенсу, оскільки при цьому завжди отримуватимемо з невирішеним питанням про збіжність ряду; в цьому випадку рекомендується розглядати інші ознаки збіжності (наприклад ознака порівняння, інтегральна, необхідна ознака і так далі).

Ряди Тейлора і Маклорена. Формула Тейлора

1.  Якщо функція F(x) має похідні будь-якого порядку в околиці точки Х = 0, то для функції F(x) може бути отриманий ряд Маклорена:

(14.4)

Для того, щоб ряд Маклорена сходилися до функції F(x), Необхідно і

Достатньо, щоб N>%, Залишок ряду прагнув до нуля, тобто

(14.5)

Для всіх значень Х З інтервалу збіжності ряду.

2.  Розкладання в ряд Маклорена деяких функцій

3.  Ряд Маклорена (при х0 = 0) є окремим випадком ряду Тейлора:

Ряд Тейлора тісно пов'язаний з формулою Тейлора:

Де Rn – залишковий член формули Тейлора:

Записаний у формі Лагранжа.

При виконанні умови (14.5) залишок Rn(x) ряду Тейлора рівний залишковому членові Rn(x) формули Тейлора.

4.  Властивості статечних рядів:

А) Якщо F(x) – сума статечного ряду, тобто, то на будь-якому відрізку [а, b], що цілком належить інтервалу збіжності (-R; R), функція f(x) є безперервною, а статечною ряд можна почленно інтегрувати на цьому відрізку:

.

Б) У інтервалі збіжності статечною ряд можна почленно диференціювати:

.

При цьому ряди мають той же радіус збіжності R, що і початковий ряд.

5.  Якщо в деякій околиці точки х = 0 мають місце розкладання

Той твір функції f(x) ц(x) розкладається в тій же околиці в статечній ряд

(правило перемножування рядів).

Зокрема, при f(x)= ц(x)

(правило зведення ряду в квадрат)

Почленноє інтеграція і диференціювання статечних рядів (властивості 14.16, 14.17) можуть бути використані при знаходженні суми статечного ряду.

14.22 Знайти суму ряду

А) –2х+4х3 –6х5+8х7 - .(-1)П (2п) х2П-1 +.;

Б) .

Рішення:

А) Можна відмітити, що почленна інтеграція даного ряду (на відрізку [0;х], де х є (-1; 1)) приведе до геометричного ряду (14.22), сума якого відома:

-х2 + х4 – х6 + х8 - . + (-1)Пх2п = . . (14.22)

Вважаючи а = - х 2, q = - x2, знайдемо суму ряду (14.22):

Або

Повертаючись до початкового ряду, знаходимо його суму диференціюванням S(x). Отже, сума даного в умові ряду

Б) даний ряд може бути приведений почленным диференціюванням в інтервалі збіжності до геометричного ряду сума якого рівна Суму початкового ряду знаходимо інтеграцією на відрізку [0;х], де х є (-1; 1):

Існує декілька способів розкладання функцій в статечній ряд. Проілюструємо їх на конкретних прикладах.

Безпосереднє розкладання

14.23 Розкласти в ряд по ступенях х функцію = (3+е-х)2.

Знайдемо похідні функції і її значення в точці х = 0:

Тепер по формулі (14.4):

.

Область збіжності ряду (14.1) є (- Ќ; +Ќ).

Застосування рядів в наближених обчисленнях

 

Статечні ряди можуть бути використані для наближеного обчислення значень різних функцій, певних інтегралів (зокрема що не «беруться»), знаходження меж і тому подібне

14.58 Обчислити приблизно з точністю до 0,0001:

А) ; б) ln 0,6.

Рішення:

А) Для обчислення запишемо ряд (14.6) при, що належить області збіжності (-Ќ; +Ќ):

Узявши перших сім членів розкладання, на підставі наслідку з теореми Лейбніца для законочередующегося ряду, що сходиться, ми допустимо погрішність, що не перевищує першого відкинутого члена (по абсолютній величині), тобто

Отже, складаючи перших сім членів, отримаємо:

Точніше оцінити погрішність обчислення можна, використовуючи формулу Тейлора (14.14). Взявши за величину Ех перші (П+1) членів ряду (разом з нульовим), ми припускаємося похибки, визначуваної залишковим членом Rn (14.15) при Х0 = 0, 0<ξ<х або х<ξ<0:

Для функції . Отже, при х = -3/4

При п=6, тобто підсумувавши разом з нульовим 7 членів ряду, ми отримаємо при цьому залишковий член поміщений в межах від мінімального до максимального, тобто –0,000026< Rn < -0,000013. Отже, точне значення знаходиться в межах 0,472365< < 0,472378. Незмінні 4 десяткових знаку, отже, з точністю до д = 0,0001 Ќ 0,4724.

(Легко показати, що підсумовування менш, ніж сім членів ряду (п<6), е забезпечує даній в умові точності відповіді).

Б) Для обчислення ln 0,6 запишемо ряд (14.7) при х = -0,4, що входить в область збіжності ряду (-1; 1]:

Якщо як ln 0,6 узяти перших вісім членів, ми допустимо погрішність

(ми врахували, що сума геометричного ряду, що сходиться, в дужках рівна ).

Отже, складаючи перших вісім членів, отримаємо:

Ln 0,6 Ќ -0,510780 Ќ -0,5108.

Відмітимо, що при підсумовуванні тільки семи членів погрішність, тобто не задовольняє заданої в умові точності до 0,0001.

Зауваження. Оцінка погрішності обчислення ln 0,6 за допомогою залишкового члена формули Тейлора виявляється в даному випадку менш ефективною. Дійсно, для функції, тоді формулі (14.15) залишковий член

Де 0< про < х або х< про < 0

При П=8, Х=-0,4 . Отже Rn(-0,4) <Rn<Rn (0), або

–0,002890 < Rn < -0,000029, а значить -0,510780 – 0,002890 < ln 0,6 < 0,510780 – 0,000029, тобто –0,513670 < ln 0,6 < -0,510809, що гарантує точність обчислення лише до 0,01 (а точніше, до 0,003).

Питання для самоперевірки:

1.  Дайте визначення статечного ряду.

2.  Що називають Область збіжності статечного ряду? Як її знайти?

3.  Які ряди називають рядом Тейлора, Маклорена?

4.  Запишіть формулу Тейлора.

5.  В чому полягає застосування рядів в наближених обчисленнях?

image042.gif" alt="" width="305" height="60" />

При п=6, тобто підсумувавши разом з нульовим 7 членів ряду, ми отримаємо при цьому залишковий член поміщений в межах від мінімального до максимального, тобто –0,000026< Rn < -0,000013. Отже, точне значення знаходиться в межах 0,472365< < 0,472378. Незмінні 4 десяткових знаку, отже, з точністю до д = 0,0001 Ќ 0,4724.

(Легко показати, що підсумовування менш, ніж сім членів ряду (п<6), е забезпечує даній в умові точності відповіді).

Б) Для обчислення ln 0,6 запишемо ряд (14.7) при х = -0,4, що входить в область збіжності ряду (-1; 1]:

Якщо як ln 0,6 узяти перших вісім членів, ми допустимо погрішність

(ми врахували, що сума геометричного ряду, що сходиться, в дужках рівна ).

Отже, складаючи перших вісім членів, отримаємо:

Ln 0,6 Ќ -0,510780 Ќ -0,5108.

Відмітимо, що при підсумовуванні тільки семи членів погрішність, тобто не задовольняє заданої в умові точності до 0,0001.

Зауваження. Оцінка погрішності обчислення ln 0,6 за допомогою залишкового члена формули Тейлора виявляється в даному випадку менш ефективною. Дійсно, для функції, тоді формулі (14.15) залишковий член

Де 0< про < х або х< про < 0

При П=8, Х=-0,4 . Отже Rn(-0,4) <Rn<Rn (0), або

–0,002890 < Rn < -0,000029, а значить -0,510780 – 0,002890 < ln 0,6 < 0,510780 – 0,000029, тобто –0,513670 < ln 0,6 < -0,510809, що гарантує точність обчислення лише до 0,01 (а точніше, до 0,003).

Питання для самоперевірки:

1.  Дайте визначення статечного ряду.

2.  Що називають Область збіжності статечного ряду? Як її знайти?

3.  Які ряди називають рядом Тейлора, Маклорена?

4.  Запишіть формулу Тейлора.

5.  В чому полягає застосування рядів в наближених обчисленнях?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить