Лекции по высшей математике
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 2.13 (4 Голоса)

ЛЕКЦІЯ №22

ТЕМА:

Поняття числового ряду. Збіжність та розбіжність числових рядів. Абсолютна та умовна збіжність рядів. Признаки збіжності: необхідні та достатні.

Питання лекції:

1. Основні відомості про числові ряди.

2.Ознаки збіжності рядів з позитивними членами. Довідковий матеріал.

3. Збіжність рядів з членами довільного знаку.

4. Область збіжності статечного ряду.

Основні відомості про числові ряди

1.  Числовим поряд називається нескінченна послідовність чисел, сполучених знаком складання: Числа И1, И2 . називаються членами ряду, член Иn – загальним або N-м членом ряду, сума N Перших членів ряду, член Иn – загальним або n-м членом ряду, сума n перших членів ряду

(13.1)

Називається П-й частковою сумою ряду.

2.  Ряд називається таким, що сходиться, якщо існує кінцева межа послідовності його часткових сум, тобто

Число S називається сумою ряду. Якщо кінцевої межі послідовності часткових сум не існує, то ряд називається таким, що розходиться.

3.  Відкидання або приписування до ряду кінцевого числа членів не впливає на збіжність або расходимость ряду.

4.  Якщо ряд сходиться, то межа його загального члена при П>5 рівна нулю: (необхідна умова збіжності ряду).

5.  При порушенні необхідної умови збіжності ряду, тобто якщо межа загального члена ряду при П>5 не існує або він не рівний нулю, ряд сходиться. Відмітимо, що якщо межа загального члена ряду рівна нулю, то вивід про збіжність або расходимости ряду можна зробити тільки після додаткового дослідження.

Для рядів з членами різних знаків зручніше користуватися еквівалентними формулюваннями: якщо межа модуля загального члена ряду не рівна нулю, тобто якщо, то ряд розходиться, а якщо межа модуля загального члена ряду рівна нулю, тобто якщо, то вивід про збіжність або расходимости ряду можна зробити тільки після додаткового дослідження.

13.1 З'ясувати, чи є ряд таким, що сходиться. У разі позитивної відповіді знайти суму ряду.

Рішення. Для того, щоб відповісти на питання про збіжність ряду, треба знайти межу послідовності часткових сум, якщо він існує (п. 2). Представимо П-й член ряду у вигляді різниці дробів із знаменниками (5п-2) і (5п+3):

Знайдемо часткову суму по формулі (13.1):

Знайдемо межу:

Межа послідовності часткових сум ряду кінцева, він рівний 1/3. Це означає, що досліджуваний ряд сходиться (п.2), і його сума рівна 1/3.

Ознаки збіжності рядів з позитивними членами

Довідковий матеріал.

Ознака порівняння. Хай - два ряди з позитивними членами і хай члени першого ряду не перевершують членів другого, тобто при будь-якому N. Тоді: а) якщо сходиться ряд, то сходиться і ряд ;

Б) якщо розходиться ряд, то розходиться і ряд .

2. Гранична ознака порівняння. Якщо і - ряди з позитивними членами і існує кінцева межа відношення їх загальних членів

; (13.3)

То ряди або одночасно сходяться, або одночасно розходяться.

3. Ряд, з яким порівнюється досліджуваний ряд, називатимемо еталонним. Найчастіше як еталонний використовують або гармонійний ряд (він розходиться), або узагальнений гармонійний ряд (при α > 1 він сходиться, а при α ≤ 1 – розходиться), або геометричний ряд (при |q|<1 він сходиться, при |q|≤1 – розходиться).

4. Ознака Даламбера Хай для ряду з позитивними членами існує межа відношення (П+1) -го члена до П-му:

(13.4)

Тоді при l<1 ряд сходиться, при l>1 і l = 5 ряд розходиться, а при l = 1 для відповіді на питання про збіжність ряду потрібне додаткове дослідження.

5. Інтегральна ознака збіжності. Хай даний позитивний ряд і хай функція F(x) така, Що f(1)= U1, f(2)= U2 ., f(u)= Un ., безперервна і не зростає при х ≥ 1. Тоді для збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб сходився невласний інтеграл при деякому а ≥ 1.

Приклад 1.

За допомогою ознак порівняння досліджуйте даний ряд на збіжність:

Рішення: декілька членів даного ряду не є позитивними. Якщо відкинути кінцеве число членів цього ряду, він стане знакопозитивним. Відкидання кінцевого числа членів ряду не впливає на збіжність або расходимость ряду, тому до цього ряду можна застосувати граничну ознаку порівняння. Якщо загальний член ряду є відношенням двох многочленів, то при підборі еталонного узагальненого гармонійного ряду значення α вибирають рівним різниці найбільших показників ступенів знаменника і чисельника. Найбільший показник ступеня знаменника рівний 3, чисельника – 1, тому α = 3-1=2, і як еталонний ряд візьмемо узагальнений гармонійний ряд з членами Vn = 1/n2.

По формулі (13.3):

 

Оскільки межа до кінцевий і відмінний від нуля, умови (13.3) виконано. На підставі граничної ознаки порівняння укладаємо, що досліджуваний ряд і еталонний ряд поводяться однаково. Еталонний ряд сходиться (узагальнений гармонійний ряд, α = 2, п. 3), тому досліджуваний ряд теж сходиться.

Зауваження № 1. Обчислення межі до необхідно для перевірки правильності підбору еталонного ряду. Якщо отримаємо, що К = 0 або К = 5, то для застосування граничної ознаки порівняння слід узяти інший еталонний ряд.

Збіжність рядів з членами довільного знаку

1.  Ряд називається таким, що абсолютно сходиться, якщо сходиться як сам ряд, так і ряд, складений з абсолютних величин його членів. Ряд називається таким, що умовно сходиться, якщо сам ряд сходиться, а ряд. Складений з абсолютних величин його членів, розходиться.

2.  Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду. Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду, сходиться, то сходиться і даний ряд.

3.  Ряд називається знакоперемінним, якщо його члени поперемінно то позитивні, то негативні: И1И2 + И3 - . + …, де

Ип > 0.

4.  Ознака Лейбніца. Якщо члени знакозмінного ряду убувають по абсолютній величині, тобто И1 > И2 > . > Ип > . > 0, і межа модуля його загального члена рівна нулю, тобто

то ряд сходиться, а його сума не перевершує першого члена: .

5.  Хай знакозмінний ряд задовольняє умовам ознаки Лейбніца і хай Sn – його П-А часткова сума. Тоді ряд сходиться, і погрішність rn = S – Sn при наближеному обчисленні його суми S по абсолютній величині не перевершує модуля першого відкинутого члена:

,

А для його суми S при будь-якому П Виконується нерівність:

S2n < S < S2n+1.

Питання для самоконтролю:

Що називають числовим рядом? Який числовий ряд називають збіжним (розбіжним) ? Назвіть необхідні і достатні признаки збіжності числових рядів. В чому полягає признак Даламбера? Сформулюйте признак Лейбница збіжності знакозмінних рядів. Які знакозмінні ряди називають абсолютно збіжними? умовно збіжними?

Поняття числового ряду. Збіжність та розбіжність числових рядів. Абсолютна та умовна збіжність рядів. Признаки збіжності: необхідні та достатні. - 2.0 out of 5 based on 4 votes

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить