Лекции по высшей математике
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

ЛЕКЦІЯ №13

ТЕМА: Необхідні та достатні умови екстремуму функції декілька змінних. Умовний екстремум функції 2-х змінних. Метод множників Лагранжа.

Питання лекції:

1. Повний приріст і повний диференціал.

2. Градієнт і його властивості.

. 3. Необхідні і достатні умови екстремуму функції два змінних.

4. Метод множників Лагранжа. Приклад розв’язування завдання на находження екстремуму функції два змінних.

Градієнт і його властивості

Приватні похідні від функції U = f(x, у) визначають швидкість зміни функції у напрямі осей Ох, Оу.

Найбільший інтерес представляє питання про напрям якнайшвидшого зростання функції U В точці М. Питання просто вирішується за допомогою вектора – градієнта функції U.

Градієнтом функції U = f(x, у) в даній точці М(х, у) називається вектор, розташований в площині ХОу з початком в точці М (х, у)

Напрям градієнта є напрямом якнайшвидшого зростання функції, його модуль рівний найбільшій швидкості зростання U В заданій точці. Градієнт є нормаллю до лінії або поверхні рівня.

Приклад5/

Дана функція Z =3x2у – Y2 і крапка А(1; 2). Знайти: GrandZ в крапці А.

Рішення: По формулі градієнта (2.7)

Необхідні і достатні умови екстремуму функції два змінних

Точка М0 називається точкою максимуму функції U (M), якщо значення функції в цій крапці більше, ніж її значення в будь-якій іншій точці деякої (хоч би малою) околиці точки М0. Аналогічно (із заміною «більше» на «менше») визначається точка мінімуму функції.

Точки мінімуму і максимуму об'єднуються під загальною назвою точки екстремуму.

Для функції двох змінних точка М має два вимірювання (Х, у), для функції трьох змінних – три вимірювання (Х, у, z).

Пошук критичних крапок, тобто крапок в яких може бути екстремум функції U = f(x, у) проводиться за допомогою необхідної умови екстремуму:

Прирівнюючи нулю перші приватні похідні, отримаємо систему рівнянь, вирішення якої визначає координати критичних крапок (Х1, У1) (Х2, У2) .

Проте необхідної умови мало для здійснення точок екстремуму. Потрібно провести дослідження критичних крапок з використанням достатніх умов екстремуму.

Для функції двох змінних U = f(x, у) введемо позначення для других приватних похідних в критичній точці М0(Х0, У0):

Достатні умови приводимо в таблиці № 1

Таблиця № 1

П/п

Співвідношення між А, В, З

Величина А

Вивід про наявність екстремуму

1

АС – В2 > 0

A < 0

Максимум в критичній крапці

2

АС – В2 > 0

A> 0

Мінімум в критичній крапці

3

АС – В2 < 0

A – любое

Немає екстремуму

4

АС – В2 = 0

А – будь-яке

Потрібне додаткове дослідження

Приклад 6 Знайти екстремум функції змінних:

Z = X22xy + 4y3

Рішення: Обчислюємо перші приватні похідні і прирівнюємо їх до нуля.

Отримуємо дві критичні крапки (0, 0) і (1/6, 2/6).

Обчислюємо приватні похідні другого порядку

У критичній крапці (0, 0) А = 2, В=-2, С=0. Отже вираз

АС – В2 = -4<0

Згідно пункту 3 таблиці 1 достатніх умов екстремуму в точці (0, 0) екстремуму немає.

Досліджуємо другу критичну крапку (1/6, 1/6): А = 2, В = -2, З = 4

АС – В2 = 8-4=4>0

Згідно пункту 2 таблиці 1 в крапці (1/6, 1/6) функція має мінімум.

Питання для самоперевірки:

1. Що називають повним приростом і повний диференціалом функції двох змінних?

2. Сформулюйте необхідні умови екстремуму функції двох змінних.

3. Сформулюйте достатні умови екстремуму функції двох змінних.

4. Назвіть алгоритм находження екстремуму функції двох змінних.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить