Лекции по высшей математике

ЛЕКЦІЯ №13

ТЕМА: Необхідні та достатні умови екстремуму функції декілька змінних. Умовний екстремум функції 2-х змінних. Метод множників Лагранжа.

Питання лекції:

1. Повний приріст і повний диференціал.

2. Градієнт і його властивості.

. 3. Необхідні і достатні умови екстремуму функції два змінних.

4. Метод множників Лагранжа. Приклад розв’язування завдання на находження екстремуму функції два змінних.

Градієнт і його властивості

Приватні похідні від функції U = f(x, у) визначають швидкість зміни функції у напрямі осей Ох, Оу.

Найбільший інтерес представляє питання про напрям якнайшвидшого зростання функції U В точці М. Питання просто вирішується за допомогою вектора – градієнта функції U.

Градієнтом функції U = f(x, у) в даній точці М(х, у) називається вектор, розташований в площині ХОу з початком в точці М (х, у)

Напрям градієнта є напрямом якнайшвидшого зростання функції, його модуль рівний найбільшій швидкості зростання U В заданій точці. Градієнт є нормаллю до лінії або поверхні рівня.

Приклад5/

Дана функція Z =3x2у – Y2 і крапка А(1; 2). Знайти: GrandZ в крапці А.

Рішення: По формулі градієнта (2.7)

Необхідні і достатні умови екстремуму функції два змінних

Точка М0 називається точкою максимуму функції U (M), якщо значення функції в цій крапці більше, ніж її значення в будь-якій іншій точці деякої (хоч би малою) околиці точки М0. Аналогічно (із заміною «більше» на «менше») визначається точка мінімуму функції.

Точки мінімуму і максимуму об'єднуються під загальною назвою точки екстремуму.

Для функції двох змінних точка М має два вимірювання (Х, у), для функції трьох змінних – три вимірювання (Х, у, z).

Пошук критичних крапок, тобто крапок в яких може бути екстремум функції U = f(x, у) проводиться за допомогою необхідної умови екстремуму:

Прирівнюючи нулю перші приватні похідні, отримаємо систему рівнянь, вирішення якої визначає координати критичних крапок (Х1, У1) (Х2, У2) .

Проте необхідної умови мало для здійснення точок екстремуму. Потрібно провести дослідження критичних крапок з використанням достатніх умов екстремуму.

Для функції двох змінних U = f(x, у) введемо позначення для других приватних похідних в критичній точці М0(Х0, У0):

Достатні умови приводимо в таблиці № 1

Таблиця № 1

П/п

Співвідношення між А, В, З

Величина А

Вивід про наявність екстремуму

1

АС – В2 > 0

A < 0

Максимум в критичній крапці

2

АС – В2 > 0

A> 0

Мінімум в критичній крапці

3

АС – В2 < 0

A – любое

Немає екстремуму

4

АС – В2 = 0

А – будь-яке

Потрібне додаткове дослідження

Приклад 6 Знайти екстремум функції змінних:

Z = X22xy + 4y3

Рішення: Обчислюємо перші приватні похідні і прирівнюємо їх до нуля.

Отримуємо дві критичні крапки (0, 0) і (1/6, 2/6).

Обчислюємо приватні похідні другого порядку

У критичній крапці (0, 0) А = 2, В=-2, С=0. Отже вираз

АС – В2 = -4<0

Згідно пункту 3 таблиці 1 достатніх умов екстремуму в точці (0, 0) екстремуму немає.

Досліджуємо другу критичну крапку (1/6, 1/6): А = 2, В = -2, З = 4

АС – В2 = 8-4=4>0

Згідно пункту 2 таблиці 1 в крапці (1/6, 1/6) функція має мінімум.

Питання для самоперевірки:

1. Що називають повним приростом і повний диференціалом функції двох змінних?

2. Сформулюйте необхідні умови екстремуму функції двох змінних.

3. Сформулюйте достатні умови екстремуму функції двох змінних.

4. Назвіть алгоритм находження екстремуму функції двох змінних.

Комментарии  

0 #1 Владислав 25.12.2019 16:15
:-x :-x :-x :-x
Цитировать

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить