Лекции по высшей математике
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

ЛЕКЦІЯ №15

 

ТЕМА: Комплексні числа, арифметичні дії над ними. Тригонометрична та показова форми комплексного числа.

Питання лекції:

1. Основні поняття про комплексні числа.

2. Дії алгебри з комплексними числами.

3. Комплексні форми квадратного рівняння алгебри. Приклад виконання завдання.

. Основні поняття про комплексні числа

Комплексним числом Z Називається число виду Z = а + Bi, Де А – дійсна частина числа Z, b – його уявна частина, А і b – дійсні числа, I = V-1 – уявна одиниця.

Позначають а = Re(z). (Re – від французького Reel – дійсний).

B = Im(z) (ImImaginarre – французьке – уявний).

Якщо , b1= B2, то комплексні числа Z1 = A1 + B1I і Z2 = A2 +b2i Називають рівними. Існують три форми запису комплексних чисел: Z = A+bi – форма алгебри комплексного числа; Z = p(Cosц +isinц) – тригонометрична форма комплексного числа; Z =еαφ – показова форма. Argz – аргумент комплексного числа.

Для даного комплексного числа модуль визначається однозначно, а аргумент має нескінченна безліч значень, що відрізняються один від одного на 2рk (Де к – ціле). Значення аргументу визначається по формулах:

Якщо те числа називають зв'язаними.

Дії алгебри з комплексними числами

Складання і віднімання два або декількох комплексних чисел визначається формулою (при складанні комплексних чисел окремо складаються їх дійсні і уявні частини, то ж – при відніманні).

(А1 + B1i) + (A2 + B2i) – (A3 + B3i) + . = (A1 + A2A3 + .) + (B1 + B2B3 + .)i

Множення двох комплексних чисел визначається формулою

(перемножують вирази в дужках з урахуванням того, що I2 = -1).

У тригонометричній формі

Тобто модуль твору рівний твору модулів, аргумент твору – сумі аргументів співмножників.

Твір зв'язаних чисел – дійсне число:

Ділення двох комплексних чисел визначається як дія, зворотна множенню.

Щоб розділити два числа у формі алгебри, потрібно чисельник і знаменник помножити на число зв'язане знаменнику.

Комплексні форми квадратного рівняння алгебри. Приклад виконання завдання.

Вирішення квадратного рівняння Ах2 + Bx + z = 0 визначається по формулах:

Де дискримінант D =B24aс. Якщо D >0, То рівняння має два дійсні різні корені, якщо D = 0, то рівняння має два однакові корені, якщо D <0, то рівняння має два комплексні зв'язані корені. У прикладі виконання завдання № 4 пункт в) показаний спосіб знаходження комплексного коріння квадратного рівняння.

Приклад виконання завдання .

А) задано два комплексні числа Z1 = 4 – 5i і Z2 = -1 + 3i

B) обчислити вираз

Знайти коріння рівняння 1) Х2 + 10 = 0, 2) Х2 + 16 = 0

РІШЕННЯ:

А) обчислюємо твір комплексних чисел (4-5i)(-1 + 3i) = -4 + 5i + 12i – 15 I2 = 11 + 17i (оскільки I2 = -1). Тепер розділимо числа, помноживши ділимо і дільника на число зв'язане дільникові.

Складемо результати множення і ділення, склавши окремо дійсні і уявні частини:

В) 1) Обчислюємо дискримінант D = 22 – 4 · 1 · 10 = -36. знаходимо корінь квадратний з дискримінанта: . По формулах (3.6) обчислюємо коріння.

. Коріння рівняння комплексне і зв'язане.

2) У неповному квадратному рівнянні дискримінант обчислювати не треба. Х2=-16, звідси . Дійсні частини коріння рівні нулю.

Таким чином, квадратне рівняння (3.5) завжди має два корені – дійсних або комплексних.

Питання для самоперевірки:

1.  Дайте визначення комплексного числа.

2.  Сформулюйте арифметичні дії над комплексними числами.

3.  Дайте поняття тригонометричної форми комплексного числа.

4.  Сформулюйте арифметичні дії над комплексними числами, які задані у тригонометричній формі.

5.  Показова форма комплексного числа.

6.  В якому разі використовуються формула Муавра?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить