Лекции по высшей математике
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 Голос)

ЛЕКЦІЯ№18

Тема:

Інтегрування дрібно-раціональних функцій; тригонометричних та деяких ірраціональних функцій; використання тригонометричних замін при інтегруванні функцій, які містять ірраціональні вирази.

Питання лекції:

1. Розкладання раціонального дробу на суму елементарних дробів.

2. Приклад на розкладання на елементарні дроби.

3. Інтеграція простих раціональних дробів.

4. Виконання завдання на інтеграцію раціональних дробів.

5. Інтеграли від ірраціональних функцій.

Розкладання раціонального дробу на суму елементарних дробів.

Раціональним дробом називають приватне двох многочленів одного і того ж аргументу

Раціональний дріб (3.7) називається правильним, якщо N>m. При M>n дріб називається неправильним, в цьому випадку ділення чисельника на знаменник можна виділити цілу частина, яка буде многочленом ступеня (M-n) і дробовий залишок, який є правильним дробом.

Хай дріб (3.7) – правильна. Її знаменник Р(х) можна розкласти на множники

Р(х)до = An(x – X1) (x – X2)до (X2 + Px +q) (X2 + Bx +3)2

Тут Х1 – простій корінь многочлена Р(х), Х2 – корінь кратності до. Квадратні тричлени X2 + Px + q, X2 + Bx + з Не мають дійсного коріння, їх комплексне коріння визначати не треба. Тоді правильний дріб (3.7) можна представити сумою простих дробів.

Вираз в кожній квадратній дужці відповідає кожному множнику в розкладанні (3.8). Невідомі коефіцієнти А1, В1 ., Вк, З, Д, М1, N1, М2, N2 визначаються шляхом приведення правої частини (3.9) до спільного знаменника і прирівнювання коефіцієнтів при однакових ступенях Х В початковому і отриманому дробах.

Приклад 1.

Розкласти на елементарні дроби

Рішення. Простому кореню знаменника Х=0 відповідає один простий дріб, кореню Х=-1 кратності 2 відповідають два прості дроби. Квадратний тричлен (Х2 +х+1) не має дійсного коріння, йому відповідає один простий дріб, в чисельнику якої – лінійний двочлен.

Приводимо праву частину до спільного знаменника, прирівнюючи потім чисельники лівої і правої частин. Отримаємо тотожність:

Х2 – 4 = А(Х+1)2 (Х2 + х + 1) + Вх(Х+1)(Х2+х+1)+ Сх(Х2+х+1)+ х(Дх + Е)(Х+1)2

Підставляючи в тотожність різні значення Х, отримаємо рівняння щодо невідомих коефіцієнтів.

Хай Х = 0 -4 = А, А = -4.

Хай Х = -1, -3 = , З = 3. Задаючи далі х = 1, 2 -2, отримаємо систему рівнянь:

Вирішуємо систему одним з методів (Крамера, Гауса або матричним). Отримаємо В = 8, Д = -4, Е = 1. Запишемо остаточний вид розкладання заданого дробу на простих:

Так, щоб знайти невизначений інтеграл від правильного раціонального дробу, її потрібно розкласти на прості дроби і шукати інтеграли від простих дробів.

Інтеграція простих раціональних дробів

 

1.  Інтеграл вигляду перетворюється на табличний з урахуванням того, що D(Ax+b)= Adx:

2.  Інтеграл вигляду

Перетворюється на табличний, якщо виділити повний квадрат в знаменнику і застосувати підстановку

Знак перед R2 залежить від знаку Залежно від знаку перед R2 використовуються інтеграли № 15 або № 16 з таблиці інтегралів.

3.  Інтеграл вигляду

Розпадається на два інтеграли, один з яких I1.

Приклад 2.

Використані табличні інтеграли № 2 і № 5.

Виконання завдання на інтеграцію раціональних дробів

 

Завдання вимагає інтеграції раціонального дробу і повинно виконуватися в наступній послідовності.

1.  Визначити, який раціональний дріб, правильний або неправильний, знаходиться під знаком інтеграла. Якщо дріб неправильний (ступінь чисельника G(x) рівний або більше ступеня знаменника Р(х), То потрібно виділити цілу частину М(х) і правильний раціональний дріб, розділивши чисельник на знаменник.

Якщо в інтегралі коштує правильний раціональний дріб, то потрібно відразу переходити до другого пункту.

2.  Розложіть знаменник правильного дробу на прості множники, потім дріб розкладіть на прості дроби (дивися приклад 3.6).

3.  Проінтегруйте многочлен М(х) і суму простих дробів.

Приклад 3.

Обчислити інтеграл

Рішення: Заданий інтеграл від неправильного раціонального дробу. Діленням чисельника на знаменник виділяємо цілу частина і дробовий залишок:

Тепер правильний дріб представляємо сумою простих дробів:

;

Прирівнюючи чисельник лівої і правої частин рівності і задаючи х=0 і х=-2, знайдемо значення коефіцієнтів А, В.

4х+1 = А(Х+2)+Вх; А = 0,5; b =3,5.

Таким чином:

Інтеграли від ірраціональних функцій

1. Якщо подынтегральная функція містить змінну в дробовому ступені, то застосовується підстановка X=tr, де R – найменше загальне кратне чисел M, q.

Приклад 4.

Підінтегральна

функція – неправильний раціональний дріб. Виділимо цілу частина:

2. Інтеграли від раціональної функції аргументу х і кореня з квадратного двочлена обчислюються за допомогою тригонометричних підстановок.

А)

Б)

Питання для самоперевірки:

1. Які дроби називають правильними (неправильними) ?

2. Сформулюйте основну теорему алгебри про розклад дробу на елементарні дроби.

3. Назвіть алгоритм інтеграції раціональних дробів.

4. Які заміни використовують при находженні інтегралів від ірраціональних функцій?

Інтегрування дрібно-раціональних функцій; тригонометричних та деяких ірраціональних функцій; використання тригонометричних замін при інтегруванні функцій, які містять ірраціональні вирази. - 5.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить