Лекции по высшей математике
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Дифференциальные уравнения

Общие сведения. 1

Дифференциальные уравнения первого порядка. 1

1. Уравнения с разделяющимися переменными. 1

2. Дифференциальные уравнения вида . 2

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 2

4. Дифференциальные уравнения, приводимые к однородным.. 2

5. Линейные уравнения. 2

6. Уравнение Бернулли. 3

7. Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений первого порядка 3

8. Уравнение в полных дифференциалах. 3

9. Метод введения интегрирующего множителя. 4

10. Уравнение Риккати. 4

11. Уравнения, неразрешенные относительно производной. 4

Дифференциальные уравнения второго порядка. 4

Основные определения. 4

24. Общее решение линейного однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. 4

Характеристическое уравнение. 4

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 5

Пример решения дифференциального уравнения второго порядка 5

Дифференциальные уравнения высших порядков. 7

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 9

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 10

Метод вариации произвольных постоянных. 10

Общие сведения

Дифференциальным называют уравнение, содержащее независимую переменную, искомую функцию и ее производные различных порядков:

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая при подстановке ее в уравнение превращает его в тождество.

/******************************

Пример. Решением уравнения

Есть функция , и вообще любая функция вида при любом выборе постоянных и .

/******************************

Общим решением дифференциального уравнения называется функция , которая зависит от произвольных постоянных и удовлетворяет заданному уравнению при любых конкретных значениях .

Общее решение дифференциального уравнения, не разрешенное относительно Y, часто называют также Общим интегралом.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

Если это уравнение можно разрешить относительно У', То его можно записать в виде

В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения спра­ведлива следующая теорема, которая называется теоремой о суще­ствовании и единственности решения дифференциального уравнения.

Теорема. Если в уравнении Функция F (х, у) и ее частная производная по у непрерывны в некоторой области D на плоскости Оху, содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого урав­нения , Удовлетворяющее условию при .

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение типа называют уравнением С разделенными переменными. Общий интеграл его есть

Уравнение вида

Называется уравнением С разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих частей на :

2. Дифференциальные уравнения вида

Такие уравнения решают подстановкой . Производная новой функции равна

Подставляя в исходное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:

3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Это уравнения вида

Где - однородные функции одного измерения, или – однородная функция.

Такие уравнения решают заменой . Тогда

После подстановки в исходное уравнение получим уравнение с разделяющимися переменными.

4. Дифференциальные уравнения, приводимые к однородным

К однородному приводится уравнение

Подстановкой , при этом H и K подбираются так, чтобы выполнялись равенства:

(необходимо решить систему уравнений)

Если определитель этой системы равен нулю, то после подстановки приходим к уравнению с разделяющимися переменными.

5. Линейные уравнения

Решение ищут в виде произведения функций: , тогда

Функцию V выбирают такой, чтобы выполнилось равенство:

отсюда ,

6. Уравнение Бернулли

Подстановка , приводит к линейному уравнению:

Это уравнение можно также решать предыдущим способом (в виде произведения двух функций).

7. Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений первого порядка

Это решения, не входящие в семейство общих решений. График таких решений есть Огибающая семейства интегральных кривых. Линия называется огибающей, если в каждой своей точке она касается той или иной линии семейства кривых.

См. Пискунов, стр.39, стр. 45

8. Уравнение в полных дифференциалах

- неоднородные функции, но соблюдается условие

(*)

Решение имеет вид , где функцию находят интегрированием любой части равенства (*):

А) ,

Полученное выражение дифференцируют по У , результат приравнивают к , находят и решают уравнение

Б)

Полученное выражение дифференцируют по Х , результат приравнивают к , находят и решают уравнение

9. Метод введения интегрирующего множителя

Если левая часть уравнения Не есть Полный дифференциал, то иногда удается найти Интегрирующий множитель, так что левая часть становится полным дифференциалом:

,

10. Уравнение Риккати

В общем случае уравнение неразрешимо. Если известно одно частное решение , то заменой (z – новая переменная) уравнение сводится к линейному

11. Уравнения, неразрешенные относительно производной

Решение можно найти, только если из уравнения легко выражается Х или У. Тогда решение находится Методом введения параметра.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные определения

Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид: .

Общее решение такого уравнения всегда содержит Две произвольные постоянные и . Частное решение (т. е. конкретные значения постоянных) находят из начальных условий вида ; (такое частное решение часто называют Задачей Коши).

24. Общее решение линейного однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида называют Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если правая часть уравнения равна нулю, то уравнение называется Однородным.

Характеристическое уравнение

Для решения таких однородных уравнений вначале составляют так называемое Характеристическое уравнение, которое имеет вид:

Вид общего решения однородного уравнения определяется корнями характеристического уравнения. При этом возможны следующие случаи:

1. , т. е. корни характеристического уравнения , – действительные числа. Общее решение имеет вид: .

2. , т. е. корни характеристического уравнения – действительные числа, причем (обозначим кратный корень как K) . Общее решение имеет вид: .

3. , т. е. корни характеристического уравнения , – комплексные числа, причем , (). Общее решение имеет вид: .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Общее решение неоднородного уравнения при правой части, не равной нулю, имеет вид: , где – общее решение соответствующего однородного уравнения (нахождение этого решения описано в предыдущем разделе), – некоторое частное решение неоднородного уравнения. Вид этого частного решения зависит от вида правой части уравнения.

1. Если имеет вид ( – полином степени N), то частное решение имеет вид: , где – полином той же степени, что и . Число R равно нулю, если M не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, в противном случае R равно кратности совпадений M с корнями характеристического уравнения.

2. Если имеет вид (А, В – действительные числа), то частное решение имеет вид: (M,N – неопределенные коэффициенты).

Пример решения дифференциального уравнения второго порядка

Найдем решение дифференциального уравнения

При начальных условиях:

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка. Как уже говорилось, его решение имеет вид: , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, а – частное решение неоднородного уравнения.

Составим характеристическое уравнение: . Корни этого уравнения равны: ; . Так как корни действительны и различны, то общее решение имеет вид:

Правая часть уравнения имеет вид , причем в данной задаче M = 4, . Число M не является корнем характеристического уравнения, Поэтому частное решение ищем в виде , где Q(X) =C – многочлен той же степени, что и P(x).

Константу многочлена C найдем с помощью метода неопределенных коэффициентов: ; . Подставляя эти значения в исходное уравнение, получим: , отсюда С= 1.

Следовательно, частное решение равно: , а решение уравнения в целом имеет вид:.

Значения констант находим из начальных условий:

, отсюда

отсюда

Решая систему уравнений, находим: С1 = 7; С2 = –6.

Окончательно получаем решение дифференциального уравнения:

Выполним проверку решения:

Следовательно, решение найдено верно.

 1

 

2

 

3

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить