Лекции по высшей математике
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 2.67 (3 Голоса)

ЛЕКЦІЯ №21

ТЕМА:

Задачі, які приводять до диференційних рівнянь. Диференційні рівняння. Основні поняття і означення. Задача Коші. Диференційні рівняння першого порядку з подільними змінними, загальний та окремий розв`язки. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Питання лекції:

1.  Диференціальні рівняння. Основні визначення про диференціальні рівняння.

2. Рівняння із змінними, що розділяються.

3. Однорідні рівняння.

4.Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.

5. Рівняння в повних диференціалах.

6.Завдання Коші.

7. Вказівки до виконання завдань на розв’язування диференційних рівнянь.

8. Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДР).

9. Вказівки до виконання завдань на розв’язування диференційних рівнянь.

10.Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР). Приклади виконання завдання на ЛНДР.

Диференціальні рівняння

Основні визначення про диференціальні рівняння

Диференціальним називається рівняння, що зв'язує незалежну змінну Х, невідому функцію у і похідні невідомої функції у,, у., у(n).

Загальний вид диференціального рівняння F(x, у, у`, Y``у(n) = 0.

Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить в рівняння. Наприклад, Y``+4у` - у = х – це рівняння другого порядку.

Вирішенням диференціального рівняння називається функція У = ц(х), Яка, будучи підставлена в рівняння, обертає його в тотожність.

Диференціальні рівняння першого порядку містять У`, його загальний вид F(x, у, у`)= 0.

Вирішення рівняння першого порядку відшукується шляхом інтеграції, тому воно містить довільну постійну З і називається в цьому випадку загальним рішенням. Якщо довільною постійною Із задати конкретне числове значення, то рішення, отримане із загального, називається приватним рішенням.

Визначення приватного рішення із загального з використанням додаткових початкових умов називається завданням Коші для даного рівняння.

Існує декілька типів рівнянь першого порядку, вирішення яких можна визначити інтеграцією. Для цього спочатку потрібно виявити тип рівняння, а потім застосувати відповідний даному типу метод рішення.

Рівняння із змінними, що розділяються

До них відносяться рівняння, в яких вирази, що містять змінну Х Або у і диференціали Dx, Dy можуть бути розділені знаками =, +, -. Рівняння можуть бути записані у формі (4.1) або (4.2).

Відрізнити даний тип рівняння можна по вигляду правій частині (4.1) і по функціях при Dx і Dy в рівнянні (4.2). Скрізь коштує твір двох функцій, причому одна залежить тільки від Х, друга, – тільки від У. Умножаючи рівняння (4.1), (4.2) на відповідний вираз можна добитися розділення змінних і рішення його шляхом інтеграції.

Приклад1.

Вирішити рівняння Уу` = Sinx .

Рішення. Рівняння приводиться до вигляду (4.1) діленням обох частин на у, тому це рівняння із змінними, що розділяються. Записавши похідну через відношення диференціалів, розділимо змінні.

Останній вираз – загальне вирішення рівняння в неявній формі.

Однорідні рівняння

Якщо для правої частини F(x, у) рівняння

У` = f(x, у) (4.3)

Виконується тотожність

F(x, у)= f(Tx, Ty) (4.4)

Де T Н 0, те рівняння (4.3) називається однорідним. Шляхом заміни невідомою У (у = їх, у` = U`X + u) рівняння (4.3) приводиться до рівняння із змінними, що розділяються, щодо невідомої і.

Приклад 2

Вирішити рівняння

Рішення. Перевіримо виконання умови (4.4).

Отже, F(X, y)= f(Tx, ty) і дане рівняння однорідне. Хай У=их, У`=u`x+u. Підставимо заміну в рівняння.

Отримаємо рівняння із змінними, що розділяються, які потім вирішуємо:

Переходимо до змінній у:

Останній вираз – загальне вирішення рівняння.

Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі

Лінійні рівняння мають вигляд У` + p(x)у = Y`` f(x) (4.6), де N # 0; N # 1. Ліві частини рівняння (4.5) і (4.6) однакової структури, права частина (4.6) містить множником N-ю ступінь невідомої У. Ці рівняння можна вирішувати одним методом, при якому робиться заміна У = і(х)v(x). У з двох нових невідомих можна вибрати довільно. Вирішення лінійного рівняння розглянемо на прикладі.

Приклад 3.

Вирішити рівняння Ху` + у = Sinx.

Рішення.

Розділивши рівняння на х, отримаємо рівняння вигляду (4.5), воно лінійне. Хай У = Uv, Y`= U`V + Uv`. Підставимо в рівняння

Xu`V + Xuv` + Uv = Sinx. Згрупуємо друге і третє доданки в лівій частині Xu`V + u(Xv`+V)= Sinx. Виберемо невідому V Так, щоб вираз в дужках перетворювався на нуль. Xv` + v = 0. Це рівняння із змінними, що розділяються

При визначенні v вважаємо, що довільна С = 0. Підставимо значення V В рівняння:

Рівняння в повних диференціалах

Рівняння P(X, y)Dx + Q(x, у)Dy = 0 (4.7)

Називається рівнянням в повних диференціалах, якщо Р(х, у), q(x, у) – безперервні функції, що диференціюються, для яких виконується співвідношення

Щоб знайти вирішення рівняння, визначаються інтеграли:

Довільні постійні, залежні від Х, у не враховуються. Потім до доданком з результату обчислення інтеграла 1 потрібно додати доданки з результату інтеграла 2, залежні тільки від У І цю суму прирівняти довільною постійною. Отриманий вираз – загальне вирішення (загальний інтеграл) рівняння (4.7).

Приклад 4.

Вирішити рівняння (X2 + Y2 + x)Dx + (2Xy + Lny + 1)Dy = 0.

Рішення.

Перевіряємо виконання умови (4.8): (X2 + Y2 +x)`у = 2y;(2xy + Lny + 1)`x = 2y. Умова (4.8) виконується, отже, дане рівняння в повних диференціалах. Знаходимо інтеграли:

1.

2.

Загальне рішення:

Завдання Коші

Завданням Коші для рівняння 1-го порядку називається завдання визначення приватного вирішення рівняння F(x, у, у`)= 0 За заданої початкової умови У(Х0)= У0.

Приклад 5.

Вирішити задачу Коші. XУ` +y = XУ2 Lnx

Рішення.

Розділивши рівняння на Х, отримаємо Це рівняння вигляду (4.6), де N=2, тобто рівняння Бернуллі. Шукаємо рішення у вигляді

У = і(х)v(x). Тоді У` = U`v + Uv`. Підставимо в рівняння

Групуємо друге і третє доданки в лівій частині Вибираємо V Так, щоб вираз в дужках дорівнював нулю. (див. приклад 4.3). Підставимо в рівняння

Загальне рішення

Підставляємо в загальне рішення початкову умову:

Вказівки до виконання завдань на розв’язування диференційних рівнянь.

Задано два диференціальні рівняння першого порядку. Потрібно встановити їх тип і знайти загальне рішення.

Для визначення типу рівняння використовуються формули (4.1) – (4.8). Так, якщо рівняння можна перетворити до вигляду (4.1) або (4.2), то воно – із змінними, що розділяються, дивитеся вище приклади вирішення таких рівнянь.

Якщо рівняння можна привести до вигляду (4.3) і при цьому виконується умова (4.4) – рівняння однорідне. Воно вирішується шляхом введення нової змінної (див. приклад 4.2).

Якщо задано лінійне рівняння (4.5) або рівняння Бернуллі (4.6), то ці рівняння вирішуються шляхом введення двох нових невідомих

У = u•v, у` = u` • v + u • v` (див. приклад 4.3).

І, нарешті, якщо для рівняння вигляду (4.7) виконується умова (4.8), то дивитеся приклад вирішення рівняння в повних диференціалах (приклад 4.4).

Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДР)

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням N-го Порядку називається рівняння вигляду

У(n)+ A1y(N-1)+ . + Any = 0.

Якщо коефіцієнти А1, А2 ., Аn не залежать від аргументу Х, то їх називають постійними. Тільки в цьому випадку загальне вирішення рівняння (4.9) можна знайти за допомогою характеристичного рівняння. Воно складається для Лоду (4.9) за наступним правилом: зберігаючи коефіцієнти А1, А2 ., Аn, потрібно замінити функцію одиницею, а всі її похідні відповідними ступенями К.

Характеристичне рівняння для ЛОДУ (4.9) має вигляд

Kn + A1kn-1 + A2kn-2 + . + An = 0 (4.10)

І є рівнянням алгебри n-й ступеня.

Лінійне однорідне рівняння другого порядку має вид Y`` + By` + су = 0 .

Для нього характеристичне рівняння є квадратним рівнянням алгебри виду K2 + Bk +с = 0.

Залежно від коріння характеристичного рівняння ЛОДР другого порядку його рішення представлені в таблиці № 3.

Вказівки до виконання завдань на розв’язування диференційних рівнянь

У завданні потрібно знайти приватний інтеграл (приватне рішення) однорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами (ЛОДР), що задовольняє вказаним початковим умовам, тобто вирішити задачу Коші.

Завдання вирішується в наступній послідовності:

1.  Для заданого рівняння записується характеристичне рівняння і визначається його коріння.

2.  По таблиці 3 загальних вирішень ЛОДР залежно від знайденого коріння записується загальне рішення.

3.  Визначається похідна від загального рішення.

4.  Підставляючи в рішення і його похідну початкові умови, знаходимо значення постійних с1, с2.

5.  Записується приватне рішення із знайденими значеннями постійних.

Таблиця № 3 – загальне вирішення ЛОДР другого порядку.

№ п/п

Коріння характеристичного рівняння

Загальне вирішення ЛОДР

1

K1 # K2 коріння дійсне

2

K1 = K2 коріння дійсне

3

K1,2 = а ± βI комплексні

4

K1,2 = +Вi прямі

Приклад 6.

а) Знайти загальне вирішення рівняння Y`` + у` - 6y = 0.

Б) Знайти приватний інтеграл рівняння Y`` - 2y` + у = 0, що задовольняє початковим умовам У(0)= 1, у`(0)= -1.

Рішення.

А) За вказаним правилом складаємо характеристичне рівняння K2 + к – 6 = 0.

Коріння характеристичного рівняння K1 = -3, K2 = 2, що відповідає пункту 1 таблиці 3 загальних вирішень ЛОДУ. Загальне рішення У = С1е-3х + С2е2х.

2. Коріння характеристичного рівняння K22k + 1 = 0 Дійсних, кратні K1 = K2 = 1. Згідно пункту 2 таблиці 3 загальне рішення

У = Ех (С1+С2х). Похідна загального рішення має вигляд.

У` = Ex(C1 + C2 + C2x). Згідно початковим умовам, при Х = 0 Функція

У = 1, її похідна рівна –1:

Запишемо приватне рішення, що задовольняє початковим умовам:

У = Еx(1-2х)

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР). Приклади виконання завдання на ЛНДР.

Рівняння вигляду У(n)+ A1Y(N-1)+ A2Y(N-2)+ . + Any = f(x) (4.11)

Називаються ЛНДУ з правою частиною F(x) # 0. Якщо в рівняннях (4.11) і (4.9) ліві частини співпадають, то рівняння (4.9) називається ЛОДУ, відповідним ЛНДУ (4.11).

Загальне вирішення ЛНДР (4.11) – сума загального вирішення відповідного ЛОДУ і якого-небудь приватного вирішення у* рівняння (4.11):

(4.12)

Метод визначення приватного вирішення у* ЛНДР залежить від виду правої частини рівняння.

1.  Права частина виду F(x)= Eаx P(x) (4.13)

2.  де Р(х) – многочлен ступеня m.

Приватне рішення потрібно шукати у вигляді

(4.14)

Де невідомі заздалегідь коефіцієнти Am ., A0 визначаються методом невизначених коефіцієнтів, показник r рівний кількості коріння характеристичного рівняння, рівного коефіцієнту в показнику експоненти.

3.  Права частина вигляду де

Р(х), Q(x) – многочлени по ступенях х. Приватне рішення потрібно шукати у вигляді

(4.16)

При цьому многочлени А(х) і В(х) повинні бути однаковому ступеню, більшому із ступенів многочленів Р(х) і Q(x). Показник r рівний кількості пар комплексного зв'язаного коріння характеристичного рівняння, у якого дійсна частина співпадає з коефіцієнтом в показнику експоненти, а уявна – з коефіцієнтом в.

Коефіцієнти многочленів А, В(х) визначаються методом невизначених коефіцієнтів.

Якщо права частина рівняння (4.11) не має виду формул (4.13), (4.15) або їх сум, то для визначення приватного вирішення у* ЛНДР застосовується метод варіації довільних постійних [1].

Якщо права частина ЛНДР є сумою декількох функцій причому кожен з доданків має вид формул (4.13), (4.15) або ж не підходить під ці формули, то приватне вирішення рівняння (4.11) – сума приватних вирішень y* = y*1 + y*2 + .y*k, причому кожен доданок y*I визначається одним з перерахованих вище методів.

Многочлен Р(х) у формулі (4.13) може не містити деяких мір х. Приватне рішення (4.14) повинне містити многочлен того ж ступеня зі всіма коефіцієнтами.

Наявність в правій частині (4.13) многочлена без експоненти говорить про те, що показник у експоненти рівний нулю і для визначення числа r у формулі (4.14) перевіряють наявність нульового коріння характеристичного рівняння.

Права частина (4.15) може містити тільки одну з функцій sinвx або cosвx. Але приватне рішення (4.16) повинне записуватися з обома цими функціями.

Многочлени Р(х) і Q(x) у формулі (4.16) повинні бути однаковому ступеню зі всіма коефіцієнтами.

Метод невизначених коефіцієнтів заснований на тому, що будь-яке вирішення диференціального рівняння перетворює його на тотожність. Якщо вирішення у* підставити в дане ЛНДУ, рівняння перетворитися на тотожність, в якій при однакових функціях в лівій і правій частинах тотожності повинні стояти однакові коефіцієнти. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х або інших функціях, отримуємо систему рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів в многочленах А, В(х) з формул (4.14) (4.16).

Приклад 7.

Знайти загальне вирішення ЛНДР:

1. 2.

Рішення.

1. Спочатку визначається загальне вирішення відповідного ЛОДР (див. приклад 6а) .

Далі знаходимо приватне вирішення ЛНДР. Коефіцієнт в показнику експоненти в правій частині не рівний кореню характеристичного рівняння, отже, У* = Ex (Ax + B).

Підставимо У* в задане рівняння. Для цього потрібно знайти У*`,y*n

Y*` = Ex(Ax + B)+ Ex A = Ex(Ax + A + B)

Y*`` = Ex(Ax + A + B)+ Ex F = Ex (Ax + 2A + B)

Підставляючи Y*, Y*`, Y*`` в рівняння, отримаємо

Ex(Ax + 2A + B)+ Ex(Ax +A + B) – 6ex(Ax+B)= Ex(X-1).

Розділимо тотожність на Еx, а потім прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях Х.

Отже, шукане загальне рішення

2. Спочатку визначаємо загальне вирішення ЛОДР. Характеристичне рівняння K2 + 1 = 0 Має чисто уявне коріння, тому (таблиця 3, пункт 4) Приватне вирішення ЛНДУ визначаємо у вигляді

Y* = Acos2x + Bsin2x. Друга похідна

Y*`` = -4acos2x – 4bsin2x + Acos2x + b Sin2x = 5sin 2x.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових функціях, вартих в лівій і правій частинах тотожності:

Загальне вирішення заданого ЛНДР має вигляд:

Питання для самоперевірки:

1.  Що називають диференційним рівнянням?

2.  Яке рішення називають загальним рішенням диференційного рівняння? приватним рішенням?

3.  Який геометричний сенс приватного рішення диференційного рівняння? Наведіть приклади рівнянь із змінними, що розділяються.

4.  Яке диференційне рівняння називають лінійним? Рівняння Бернулі? Укажіть методи їх розв’язування.

5.  Яке диференційне рівняння називають диференційним рівнянням другого порядку?

6.  Який вигляд має загальне рішення диференційним другого порядку?

7.  Як знайти рішення неоднорідного диференційного рівняння?

Диференційні рівняння - 2.7 out of 5 based on 3 votes

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить