Лекции по высшей математике
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

ЛЕКЦІЯ №12

ТЕМА:

Визначення функції 2-х змінних. Область визначення функції 2-х і кілько змінних. Диференціювання функції 2-х змінних. Екстремум та умовний екстремум функції 2-х змінних.

Питання лекції:

1. Визначення функції декілька змінних області лінії і поверхні рівня.

2. Приватні прирости і приватні похідні. Теорема про рівність приватних змішаних похідних.

3. Приклади на находження приватних похідних; використання теореми про рівність приватних змішаних похідних.

Визначення функції декілька змінних області лінії і поверхні рівня

Якщо кожній парі (Х, у) значення два, незалежних один від одного, змінних величин Х і У, з деякої області їх зміни D, відповідає певне значення величини U, то говорять, що U Є функція двох змінних Х і У, визначена в області D.

Функція двох змінних позначається так:

U = f(X, y) Z = F(x, у), і так далі

Функція може мати не тільки дві, але і три і більш незалежних змінних, наприклад: U = f(x, У, z,t).

Все нове, що виникає в диференціальному численні при переході від функції однієї змінної до функції декілька змінних, властиво вже функції два змінних. Тому розглядаємо функції двох змінних з коротким узагальненням на функції декілька змінних.

Сукупність пар (Х, у) значень Х і У, при яких визначається функція U = f(x, у), називається областю існування або областю визначення цієї функції. При цьому пара (Х, у) визначає крапку в області існування.

В області D Існує безліч крапок, в яких функція U(x, у) приймає однакові значення. Хай U = C = Const. Тоді рівняння F(x, у)= C Визначає лінію в площині ХОу, в усіх точках якій U=C. Така лінія називається лінією рівня. Якщо задана функція три змінних U = f(x, у, z), Те рівняння f(x, у, z)= C Визначає поверхню в просторі, в усіх точках якій U = C. Така поверхня називається поверхнею рівня.

Приклад 1. Хай U = X2 + 2y2. Значенням функції U = 4, U = 9 Відповідають лінії рівня Х2 + 2у2 = 4, Х2 + 2у2 = 9. Це еліпси, канонічні рівняння яких:

Приватні прирости і приватні похідні. Теорема про рівність приватних змішаних похідних

Якщо незалежною змінною х функції U = f(x, у) дати приріст Дх, не змінюючи при цьому другу змінну У, то функція U Отримає приватний приріст по Х: Δ(Х, у) = f(х + Δх, у) – f(х, у). Аналогічно визначається приватний приріст функції U По змінній У:

Δ(y, х) = f(x, у + Δy) – f(x, у)

Приватною похідною від Х Функції U = f(x, у) називається межа відношення приватного приросту функції по змінній Х До приросту аргументу ΔХ При прагненні останнього до нуля.

Приватна похідна позначається одним з символів:

Таким чином

Аналогічно приватна похідна по У

З визначень виходить, що приватна похідна по одній змінній обчислюється за умови, що інші незалежні змінні є постійними величинами. Всі правила диференціювання функції однією змінною зберігаються.

Приклад 2 Дана функція двох змінних, знайти її приватні похідні

U = x2y + 2XyXy2 + x + 3Y

Ux`= 2Xy + 2YY2 + 1, Ux` = x2 + 2X – 2Xy + 3

Приватні похідні Ux`, Ux` Функції двох змінних, які можна диференціювати по кожній незалежній змінній. При цьому виникає чотири похідних другого порядку:

Приватні похідні називаються змішаними.

Приклад 3 Z = + Sin(2x3y) Визначаємо перші і другі приватні похідні: Рівність в прикладі двох приватних змішаних похідних не є випадковою. Із цього приводу існує теорема про рівність приватних змішаних похідних.

Теорема: Якщо функція U = f(x, y) і її приватні похідні першого і другого порядку визначені і безперервні в деякій області D, то

Вказівки до виконання завдання на диференціювання функції двох змінних

У завданні потрібно визначити приватні похідні першого і другого порядків від функції двох змінних U = f(x, у), а саме . Обчислення похідної по одній змінній х або у виконується за умови, що інша незалежна змінна є постійною величиною. Використовуються правила диференціювання і таблиця похідних основних функцій однієї незалежної змінної.

Приклад 4 U = Ysin2x

Рішення

 

Питання для самоперевірки:

1.  Дайте визначення функції двох змінних. Наведіть приклади.

2.  Що називають областю визначення функції двох змінних? Яке геометричне зображення функції двох змінних?

3.  Дайте визначення межі функції двох змінних. Яка функція називається неперервною в крапці?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить