Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) называется некоторая функциональная зависимость, содержащая переменную , искомую функцию и её производные, то есть

. (8.1)

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения. Тогда (8.1) – ДУ -го порядка.

Следовательно, ДУ 1-го порядка имеет вид: . (8.2)

Если из (8.2) выразить , то получим ДУ 1-го порядка, разрешенное относительно производной: . (8.3)

Решением ДУ называется такая функция , которая, будучи подставленной вместе со всеми своими производными до -го порядка в уравнение, обращает его в тождество.

Если неизвестная искомая функция зависит от одной переменной, то ДУ называется обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.

Методом решения ДУ является интегрирование, а график решения ДУ называется интегральной кривой.

Процесс интегрирования для ДУ -го порядка повторяется раз. Следовательно, искомое решение будет содержать ровно констант интегрирования. Решение ДУ, содержащее константы интегрирования , называется общим решением ДУ: . (8.4)

Если данное решение получено в неявном виде , то оно называется общим интегралом.

Для ДУ 1-го порядка общий интеграл записывается в виде , а общее решение . (8.5)

Решение ДУ, получаемое из общего решения при конкретных значениях констант интегрирования, называется его частным решением (частным интегралом).

Решение ДУ, не получаемое из общего решения ни при каких значениях константы , называется особым.

С геометрической точки зрения общее решение ДУ 1-го порядка есть семейство интегральных кривых на плоскости ; особое решение представляет собой огибающую интегрального семейства; частное решение при – одна кривая из этого семейства, походящая через точку . Задать эту точку означает задать для данного дифференциального уравнения начальные условия:

или . (8.6)

Геометрически задание начальных условий подразумевает выделение из всего семейства интегральных кривых выделение именно той кривой, которая проходит через точку с координатами .

Если составить систему, состоящую из самого ДУ и заданных для него начальных условий, то получим задачу Коши для данного ДУ. Запишем задачу Коши для ДУ 1-го порядка:

. (8.7)

Теорема 8.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области , содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (8.6)

Аналогично можно записать задачи Коши для ДУ 2-го и -го порядка соответственно:

, (8.8)

………………………..

. (8.9)

Для того чтобы найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям, необходимо:

1)  проинтегрировав ДУ, найти его общее решение (общий интеграл);

2)  в общее решение (общий интеграл) подставить заданные начальные условия, получая при этом уравнение (систему уравнений) относительно констант интегрирования , где ;

3)  решить уравнение относительно или систему уравнений относительно ;

4)  найденные или подставить в общее решение ДУ 1-го или n-го порядка соответственно.

Пример 8.1. Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Учитывая, что , имеем или . Проинтегрировав данное уравнение , получим общее решение . Подставим в него начальные условия :

или . Данное значение константы подставим в общее решение: – искомое частное решение

Рассмотрим, в чем состоит геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Уравнения (8.2) и (8.3) устанавливают зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ (8.3) задает на координатной плоскости поле направлений. Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Для приближенного построения интегральных кривых пользуются изоклинами. Уравнение изоклины можно получить при , то есть .

Вопросы для самопроверки.

1.  Какое уравнение называется дифференциальным? Какой вид оно имеет?

2.  Что называется порядком ДУ?

3.  Какая функция называется решением дифференциального уравнения?

4.  Какое решение для ДУ называется общим? частным?

5.  Что называется интегральной кривой? интегральным семейством?

6.  Что означает задание начальных условий для данного ДУ?

7.  Какова постановка задачи Коши для ДУ первого, второго, -го порядка?

8.  Какова геометрическая интерпретация ДУ первого порядка?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить