Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Частные производные высших порядков функции двух переменных

Частные производные функции , в свою очередь, являются функциями двух переменных. Следовательно, их можно снова дифференцировать по каждой из переменных, считая другую постоянной величиной. В результате получают частные производные второго порядка: . Каждую из этих производных можно снова дифференцировать по обеим переменным, получая восемь производных функции третьего порядка . Продолжая процесс раз, получим частную производную -го порядка. При этом для смешанных производных любого порядка имеет место следующая теорема.

Теорема 6.1 (теорема Шварца). Если частные производные высшего порядка функции непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой: = (6.7)

Замечание. Для функции теорема Шварца имеет вид:

= (6.8)

Вопросы для самопроверки.

1.  Сколько частных производных второго порядка имеет функция , как их вычислить?

2.  Сколько частных производных третьего порядка имеет функция , как их вычислить?

3.  Что утверждает теорема Шварца?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить