Прямая в пространстве
Пусть задан вектор , параллельный заданной прямой l (без учета направления) и точка
, лежащая на данной прямой. Таким образом, прямая l однозначно определяется в пространстве точкой
и вектором
, называемым для l направляющим. Обозначим
и определим его с точностью до коллинеарности (рис. 20).
Пусть точка – текущая точка прямой l, тогда
– текущий вектор прямой. Значит, векторы
и
коллинеарны. По следствию из теоремы 2.5 данное условие можно записать в виде:
– (2.35)
каноническое уравнение прямой. Все соотношения (2.35) равны между собой, следовательно, может быть введен коэффициент пропорциональности t, называемый параметром прямой, и получены параметрические уравнения прямой
. (2.36)
Чтобы задать прямую l в пространстве в общем виде надо рассмотреть её как линию пересечения двух плоскостей, которые обозначим через
и
, и зададим уравнениями соответственно:
,
.
Это означает, что прямая задается системой, состоящей из уравнений плоскостей и
:
– (2.37)
общее уравнение прямой в пространстве.
Поставим задачу – привести общее уравнение (2.37) прямой к ее каноническому уравнению (2.35). Решение состоит из трех этапов.
1. Отыскание точки , лежащей на данной прямой.
Координаты точки должны удовлетворять системе (2.37), так как точка принадлежит обеим плоскостям
и
.
Ранг системы (2.37) равен 2. Объявим базисными переменными и
, тогда
– свободная переменная. Придадим ей конкретное значение
. Система примет вид:
при условии, что главный определитель
. Так как нужно знать только одну точку прямой (одно решение системы (2.37)), то достаточно найти одно ее частное решение. Для простоты вычислений можно придать одной из переменных нулевое значение, например
. После этого определенную систему уравнений решают известными методами (Крамера, подстановки, обратной матрицы). Решение системы
в совокупности со значением свободной переменной представляет собой координаты искомой точки
.
2. Нахождение направляющего вектора прямой. Так как
перпендикулярен нормальным векторам
и
плоскостей
и
, то его можно найти по теореме 2.5 как векторное произведение указанных векторов:
. (2.38)
3. Найденные точку и вектор
подставляем в уравнение (2.35). Таким образом, задача о приведении общего уравнения прямой к каноническому виду решена.
Пример 2.11. Привести общее уравнение прямой в пространстве к каноническому виду
.
Решение. Найдем точку , принадлежащую данной прямой. Достаточно найти одно частное решение заданной системы, например при
. Данное решение будет представлять собой координаты некоторой точки данной прямой.
При имеем
. Решаем систему методом Крамера. Вычисляем главный и вспомогательные определители:
,
,
. По формулам (1.3):
,
. Следовательно, точка
– искомая точка заданной прямой.
Найдем направляющий вектор прямой. Нормальные векторы плоскостей, пересечением которых задана прямая, есть
и
. Тогда по теореме 2.5 имеем:
.
Подставляя координаты точки и вектора
в (2.35), получим искомое каноническое уравнение прямой
:
Вопросы для самопроверки.
1. Какой вектор называется направляющим для данной прямой, с какой точностью он определен?
2. Что задает прямую в пространстве единственным образом?
3. Какие уравнения задают прямую в пространстве?
4. Как привести общее уравнение прямой к каноническому виду?