Прямая в пространстве
Пусть задан вектор 
, параллельный заданной прямой l (без учета направления) и точка 
, лежащая на данной прямой. Таким образом, прямая l однозначно определяется в пространстве точкой 
и вектором 
, называемым для l направляющим. Обозначим 
и определим его с точностью до коллинеарности (рис. 20).
Пусть точка 
– текущая точка прямой l, тогда 
– текущий вектор прямой. Значит, векторы 
и 
коллинеарны. По следствию из теоремы 2.5 данное условие можно записать в виде: 
– (2.35)
каноническое уравнение прямой. Все соотношения (2.35) равны между собой, следовательно, может быть введен коэффициент пропорциональности t, называемый параметром прямой, и получены параметрические уравнения прямой 
. (2.36)
Чтобы задать прямую l в пространстве в общем виде надо рассмотреть её как линию пересечения двух плоскостей, которые обозначим через 
и 
, и зададим уравнениями соответственно: 
, 
.
Это означает, что прямая задается системой, состоящей из уравнений плоскостей и :
– (2.37)
общее уравнение прямой в пространстве.
Поставим задачу – привести общее уравнение (2.37) прямой к ее каноническому уравнению (2.35). Решение состоит из трех этапов.
1. Отыскание точки 
, лежащей на данной прямой.
Координаты точки должны удовлетворять системе (2.37), так как точка принадлежит обеим плоскостям и .
Ранг системы (2.37) равен 2. Объявим базисными переменными 
и 
, тогда 
– свободная переменная. Придадим ей конкретное значение 
. Система примет вид: 
при условии, что главный определитель 
. Так как нужно знать только одну точку прямой (одно решение системы (2.37)), то достаточно найти одно ее частное решение. Для простоты вычислений можно придать одной из переменных нулевое значение, например 
. После этого определенную систему уравнений решают известными методами (Крамера, подстановки, обратной матрицы). Решение системы 
в совокупности со значением свободной переменной представляет собой координаты искомой точки .
2. Нахождение направляющего вектора 
прямой. Так как 
перпендикулярен нормальным векторам 
и 
плоскостей и , то его можно найти по теореме 2.5 как векторное произведение указанных векторов:
. (2.38)
3. Найденные точку и вектор
подставляем в уравнение (2.35). Таким образом, задача о приведении общего уравнения прямой к каноническому виду решена.
Пример 2.11. Привести общее уравнение прямой в пространстве к каноническому виду
.
Решение. Найдем точку , принадлежащую данной прямой. Достаточно найти одно частное решение заданной системы, например при . Данное решение будет представлять собой координаты некоторой точки данной прямой.
При имеем 
. Решаем систему методом Крамера. Вычисляем главный и вспомогательные определители:
, 
, 
. По формулам (1.3):
, 
. Следовательно, точка 
– искомая точка заданной прямой.
Найдем направляющий вектор 
прямой. Нормальные векторы плоскостей, пересечением которых задана прямая, есть 
и 
. Тогда по теореме 2.5 имеем: 
.
Подставляя координаты точки 
и вектора 
в (2.35), получим искомое каноническое уравнение прямой 
: 
Вопросы для самопроверки.
1. Какой вектор называется направляющим для данной прямой, с какой точностью он определен?
2. Что задает прямую в пространстве единственным образом?
3. Какие уравнения задают прямую в пространстве?
4. Как привести общее уравнение прямой к каноническому виду?