Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Прямая в пространстве

Пусть задан вектор , параллельный заданной прямой l (без учета направления) и точка , лежащая на данной прямой. Таким образом, прямая l однозначно определяется в пространстве точкой и вектором , называемым для l направляющим. Обозначим и определим его с точностью до коллинеарности (рис. 20).

Пусть точка – текущая точка прямой l, тогда – текущий вектор прямой. Значит, векторы и коллинеарны. По следствию из теоремы 2.5 данное условие можно записать в виде: (2.35)

каноническое уравнение прямой. Все соотношения (2.35) равны между собой, следовательно, может быть введен коэффициент пропорциональности t, называемый параметром прямой, и получены параметрические уравнения прямой . (2.36)

Описание: Прямая в пространствеЧтобы задать прямую l в пространстве в общем виде надо рассмотреть её как линию пересечения двух плоскостей, которые обозначим через и , и зададим уравнениями соответственно: , .

Это означает, что прямая задается системой, состоящей из уравнений плоскостей и :

– (2.37)

общее уравнение прямой в пространстве.

Поставим задачу – привести общее уравнение (2.37) прямой к ее каноническому уравнению (2.35). Решение состоит из трех этапов.

1. Отыскание точки , лежащей на данной прямой.

Координаты точки должны удовлетворять системе (2.37), так как точка принадлежит обеим плоскостям и .

Ранг системы (2.37) равен 2. Объявим базисными переменными и , тогда – свободная переменная. Придадим ей конкретное значение . Система примет вид: при условии, что главный определитель . Так как нужно знать только одну точку прямой (одно решение системы (2.37)), то достаточно найти одно ее частное решение. Для простоты вычислений можно придать одной из переменных нулевое значение, например . После этого определенную систему уравнений решают известными методами (Крамера, подстановки, обратной матрицы). Решение системы в совокупности со значением свободной переменной представляет собой координаты искомой точки .

2. Нахождение направляющего вектора прямой. Так как перпендикулярен нормальным векторам и плоскостей и , то его можно найти по теореме 2.5 как векторное произведение указанных векторов:

. (2.38)

3. Найденные точку и векторподставляем в уравнение (2.35). Таким образом, задача о приведении общего уравнения прямой к каноническому виду решена.

Пример 2.11. Привести общее уравнение прямой в пространстве к каноническому виду

.

Решение. Найдем точку , принадлежащую данной прямой. Достаточно найти одно частное решение заданной системы, например при . Данное решение будет представлять собой координаты некоторой точки данной прямой.

При имеем . Решаем систему методом Крамера. Вычисляем главный и вспомогательные определители:

, , . По формулам (1.3):

, . Следовательно, точка – искомая точка заданной прямой.

Найдем направляющий вектор прямой. Нормальные векторы плоскостей, пересечением которых задана прямая, есть и . Тогда по теореме 2.5 имеем: .

Подставляя координаты точки и вектора в (2.35), получим искомое каноническое уравнение прямой :

Вопросы для самопроверки.

1.  Какой вектор называется направляющим для данной прямой, с какой точностью он определен?

2.  Что задает прямую в пространстве единственным образом?

3.  Какие уравнения задают прямую в пространстве?

4.  Как привести общее уравнение прямой к каноническому виду?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить