Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Плоскость в пространстве

Описание:Пусть плоскость определена в пространстве точкой и вектором, ей перпендикулярным – вектором , называемым нормальным вектором плоскости. Нормальный вектор плоскости определяется в пространстве с точностью до коллинеарности.

Рассмотрим текущую точку плоскости (рис. 17). Тогда перпендикулярен вектору . Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения, то есть . Тогда из теоремы 2.3 и формулы (2.21) следует:

(2.31)

уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Раскроем скобки: или . После обозначения получим общее уравнение плоскости . (2.32)

Равенство (2.32) имеет смысл при условии, что его коэффициенты не обращаются в ноль одновременно, то есть A2+B2+ C2 ≠ 0.

Описание: Пересечение осей плоскостьюПредположим, что все коэффициенты уравнения (2.32) отличны от нуля, тогда Ax + By + Cz = -D. Поделив это равенство на , имеем или . После обозначений получим уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых ею на осях координат: . (2.33)

1). Докажем, что – длина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси (при ). В этом случае уравнение (2.33) принимает вид: (рис. 18).

2). Докажем, что – длина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси (при ): уравнение (2.33) <=> .

3). Докажем, что – длина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси (при ): уравнение (2.33) <=> .

Описание: Плоскость через три точкиИзвестно, что плоскость в пространстве единственным образом задаётся тремя точками. Пусть точка – текущая точка на плоскости . Тогда векторы , и

компланарны и исходят из одного начала (рис. 19). По теореме 2.6 необходимым и достаточным усло­вием компланар­ности трех век­торов является равенство нулю их смешанного произведения: . Согласно теореме 2.7 и формуле (2.28) получаем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

. (2.34)

Вопросы для самопроверки.

1.  Какой вектор называется нормальным для данной плоскости, с какой точностью он определен?

2.  Что задает плоскость в пространстве единственным образом?

3.  Какие уравнения задают плоскость в пространстве?

4.  Какова связь смешанного произведения трех векторов с плоскостью в пространстве?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить