Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Основные методы интегрирования функции одной переменной

Ранее рассматривалась задача: дана функция , надо найти ее производную, то есть функцию . Теперь рассмотрим обратную задачу: дана функция ; требуется найти такую функцию , что .

Функция называется первообразной от функции на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство .

Например, первообразная для является , так как .

Неопределенным интегралом данной функции называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение: .

Теорема 4.1. Если и – две первообразные для функции на отрезке , то разность между ними равна постоянному числу

Доказательство. По условию теоремы и по определению первообразной имеем: и , где для . Обозначим . Продифференцируем последнее равенство: . С другой стороны . Но из равенства => , теорема доказана.

На основании доказанной теоремы можно записать:

. (4.1)

Операцию нахождения первообразной или неопределенного интеграла называют интегрированием функции.

Свойства неопределенного интеграла

1. Операции интегрирования и дифференцирования взаимообратны:

; ; (4.2)

; . (4.3)

2. Если подынтегральную функцию умножить на постоянную величину, то на эту же постоянную умножается неопределенный интеграл:

. (4.4)

3. Интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их интегралов: . (4.5)

Свойство 3 может быть применено для любого конечного числа слагаемых.

Основные методы интегрирования.

1. В простейших случаях, когда интеграл является табличным, интегрирование сводится к простому применению табличной формулы или же к сведению данного интеграла к одной из них, а может быть к их суме или разности путем простых арифметических действий. Этот метод и носит название непосредственного или табличного интегрирования.

Рассмотрим таблицу основных интегралов.

1. (4.6)

2. (4.7)

Проверка.

3. , т. к. (4.8)

4. (4.9)

Проверка.

5. (4.10)

6. (4.11)

7. (4.12)

8. (4.13)

Проверка.

9. (4.14)

10. (4.15)

11. (4.16)

12. (4.17)

Проверка.

13. (4.18)

Проверка.

.

14. (4.19)

Проверка.

15. (4.20)

Проверка.

.

Пример 4.1. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Здесь использованы формулы интегрирования (4.6) и (4.12)

Пример 4.2. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Здесь использованы формулы интегрирования (4.6) и (4.15)

2. Замена переменной (метод подстановки)

Теорема 4.2. Пусть нужно взять интеграл , где , т. е. . Тогда:

(4.21)

Доказательство. Найдем производную по от левой и правой частей уравнения (4.21), и убедимся, что эти производные равны. Правую часть при этом будем дифференцировать по x как сложную функцию с промежуточным аргументом . Заметим еще, что .

Производная левой части производная: по свойству обратности.

Производная правой части:

. Производные равны, теорема доказана.

Пример 4.3. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Здесь использована формула интегрирования (4.7)

Пример 4.4. Найти неопределенный интеграл .

Решение..

Здесь использована формула интегрирования (4.17)

3. Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции. Тогда дифференциал их произведения: . Интегрируем это равенство почленно: . По свойству обратности , тогда . Отсюда получим:

(4.22)

формула интегрирования по частям.

Формула применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей и , чтобы отыскание функции по ее дифференциалу и вычисление интеграла составляли задачу более простую, чем непосредственное вычисление .

Можно указать следующие типы интегралов, для нахождения которых применяется интегрирование по частям:

1. , где – многочлен, – число. Удобно положить , а в качестве взять остальные сомножители.

2. , где а – число. Удобно положить , а в качестве и взять остальные сомножители.

3. , где а и – числа. За и целесообразно взять функцию .

4. , где а – число. Здесь в качестве функции и выбирают радикал, а .

Для интегралов вида применяют n-кратное интегрирование по частям, каждый раз уменьшая степень n на 1, пока она не станет равной нулю.

При интегралов вида 3 и 4 получают интеграл i, заданный по условию. Такой прием называется возвращением к исходному интегралу. Уравнение, получаемое в процессе интегрирования, разрешается относительно i.

Умение разбивать подынтегральную функцию на множители и оптимальным образом приходит с опытом при решении задач. Рассмотрим некоторые из них.

Пример 4.5. Найти неопределенный интеграл .

Решение. . (4.23)

Здесь использованы формулы интегрирования (4.11), (4.12), (4.22)

Пример 4.6. Найти неопределенный интеграл .

Решение. (4.23)

Здесь использованы формулы интегрирования (4.7), (4.22)

Пример 4.7. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

=

.

Перенесем интеграл в левую часть равенства и возьмем интеграл правой части, получим

. Отсюда

(4.24)

Здесь использованы формулы дифференцирования (3.11), (3.25) и интегрирования (4.20), (4.22).

Этот же интеграл был взят нами путем замены переменной ранее. Видно, что интегрирование по частям здесь менее трудоемко

Пример 4.8. Найти неопределенный интеграл .

Решение. .

Проинтегрируем по частям полученный интеграл

Подставим в исходный интеграл:

Здесь использованы формулы дифференцирования (3.17) и интегрирования (4.10), (4.22)

4. Интегрирование рациональных дробей

В главе III было рассмотрено определение рациональной дроби. Согласно формуле (3.3) , где и – степень многочленов, стоящих соответственно в числителе и знаменателе. Если , то рациональная дробь называется неправильной, если правильной.

Если подынтегральная дробь является неправильной, то числитель делят на знаменатель по правилу деления многочленов с целью выделения многочлена – целой части. Тогда интеграл от первоначальной неправильной дроби заменяется суммой двух интегралов: от целой части и полученной правильной дроби:

.

Среди правильных рациональных дробей выделят простейшие дроби, интегралы от которых можно разделить на 4 вида:

1. (4.25)

2. (4.26)

3.

Обозначим полученные константы ,

(4.27)

Если в знаменателе интеграла содержится плюс, то применяют формулу (4.17), если минус – формулу (4.18).

Пример 4.9. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

4. . Обозначим . (4.28)

Найдем отдельно интегралы и подставим в (4.28). Интеграл содержит в знаменателе либо плюс, либо минус. Эти случаи различаются применяемыми в них заменами, рассмотрим их подробнее.

Далее производят обратные подстановки и результаты интегрирования подставляют в равенство (4.28).

Рассмотрим интегрирование правильных рациональных дробей, которое на основе следующей теоремы сводится к сумме интегралов от простейших дробей вида I – IV, берущихся с помощью формул (4.25)–(4.28).

Теорема 4.3. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на простейшие множители

, (4.29)

можно единственным образом представить в виде следующей суммы простейших дробей:

, (4.30)

где – некоторые действительные коэффициенты

Теорему (4.3) можно пояснить следующими двумя правилами разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей:

1) каждому простейшему множителю знаменателя в натуральной степени k при разложении соответствует k дробей, у первой из которых знаменателем является этот множитель в 1-ой степени, у второй дроби знаменателем является этот множитель во 2-ой степени,…, у последней k-той дроби – этот множитель в k-ой степени.

2) числитель каждой дроби представляет собой многочлен общего вида, степени на единицу меньше, чем степень самого множителя, стоящего в знаменателе.

В качестве резюме данной темы можно сформулировать общее правило интегрирования рациональных дробей.

1.  Если рациональная дробь является неправильной, то ее нужно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2.  Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на простейшие множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей вида I – IV.

3.  Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

5. К основным методам интегрирования относится также интегрирование тригонометрических функций  и некоторых алгебраических ир­рациональностей. Подробнее данные темы изложены в пояснениях к указанным схемам.

Вопросы для самопроверки.

1.  Что понимают под неопределенным интегралом?

2.  Каковы основные свойства неопределенного интеграла?

3.  Каковы основные методы неопределенного интегрирования?

4.  В чем суть метода замены переменной?

5.  В каких случаях применяется интегрирование по частям, в чем смысл метода?

6.  Что означает возвращение к исходному интегралу?

7.  Какие дроби называются простейшими, как их интегрируют?

8.  Как разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей?

9.  В чем заключается общее правило интегрирования рациональных дробей?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить