Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка

1.  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений . (8.10)

С учетом равенства (8.11)

Уравнение (8.10) может быть записано в виде .

Разделим обе части на произведение функций ( при условии ) и после сокращения получим: . Так как переменные разделены, проинтегрируем уравнение почленно: . После нахождения интегралов получаем общий интеграл исходного ДУ. Предполагая, что , мы могли потерять решения. Следовательно, необходимо подстановкой в исходное уравнение сделать проверку. В том случае, когда данные функции удовлетворяют уравнению, их рассматривают как частные решения заданного ДУ.

2.  Однородные ДУ 1-го порядка.

Общий вид уравнений , (8.12)

где и – однородные функции аргументов и одной и той же степени однородности , то есть имеют место равенства

и . (8.13)

Метод решения уравнения (8.12) – деление на переменную в степени однородности: . Далее уравнение преобразуются с помощью следующей замены:

; или . (8.14)

Однородное уравнение (8.12) принимает вид:

уравнение с разделяющимися переменными. Следовательно, дальнейшее решение – по пункту 1.

Пример 8.2. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Поделим уравнение на , получим . После замены (8.14) заданное по условию уравнение принимает вид или , . В результате интегрирования получим , , . После обратной замены , – искомый общий интеграл

3. ДУ 1-го порядка, приводящиеся к однородным или с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений , (8.15)

где – числа.

При уравнение является однородным. Рассмотрим два случая при и не равных нулю одновременно.

1) Определитель . Вводят новые переменные и , положив , , где – решение системы уравнений .

В результате данной подстановки уравнение (8.15) становится однородным.

2) Определитель . Это означает пропорциональность коэффициентов или , . Уравнение (8.15) принимает вид: . С помощью замены , оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными вида .

4. Линейные ДУ 1-го порядка

Общий вид уравнений , (8.16)

где и – заданные функции (могут быть постоянными).

Уравнение (8.16) может быть решено двумя способами.

1) Метод Бернулли состоит в том, что решение ищется в виде произведения двух неизвестных функций или коротко .

Одна из функций произвольная, но не равная нулю. Тогда . Подставив выражения и в (8.16), после чего оно принимает вид:

или . (8.17)

Функцию подберем так, чтобы выражение в скобках обратилось в ноль. Для этого решим уравнение с разделяющимися переменными или . Отсюда в результате интегрирования получим:

. Так функция выбиралась произвольно, то можно положить , тогда или . Подставив найденную

в (8.17), приходим к еще одному уравнению с разделяющимися переменными или . Интегрируя его, получим функцию . Общее решение исходного ДУ (8.16) принимает вид . (8.18)

Пример 8.3. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Решение будем искать в виде , тогда . Исходное уравнение принимает вид или . Для отыскания функции решаем уравнение или . Отсюда , . Для нахождения функции имеем уравнение или . Проинтегрировав его, получим , . Таким образом, общее решение заданного ДУ имеет вид:

или

2) Метод Лагранжа иначе называют методом вариации произвольной постоянной. Рассмотрим сначала соответствующее линейное однородное ДУ 1-го порядка, то есть исходное уравнение без правой части . Разделив переменные и проинтегрировав, в найденном решении полагают постоянную функцией . После этого функцию дифференцируют и вместе с подставляют в исходное уравнение. При этом получают уравнение относительно неизвестной функции , отыскав которую, подставляют ее в – общее решение заданного линейного неоднородного уравнения (с правой частью).

5. Уравнения Бернулли

Общий вид уравнений . (8.17)

При (8.17) – уравнение с разделяющимися переменными.

При (8.17) – линейное ДУ.

Рассмотрим , , . Метод решения – деление уравнения на , после чего (8.17) принимает вид . С помощью замены исходное уравнение становится линейным относительно функции : , (8.18) то есть его решение находится аналогично пункту 4. На практике искать решение уравнения (8.17) удобнее методом Бернулли в виде произведения неизвестных функций . Заметим, что – всегда является решением исходного уравнения (8.17).

6. Уравнение в полных дифференциалах.

6.1. Общий вид уравнений , (8.19)

где левая часть есть полный дифференциал некоторой функции , то есть .

В этом случае ДУ (8.19) можно записать в виде , а его общий интеграл будет .

Условие, по которому можно судить, что выражение является полным дифференциалом, можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 8.2. Для того чтобы выражение , где функции и и их частные производные и непрерывны в некоторой области D плоскости , было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия (8.20)

Таким образом, согласно определению полного дифференциала (6.6) должны выполняться равенства:

и . (8.21)

Формула (8.21) представляет собой теорему Шварца, согласно которой смешенные производные второго порядка функции равны между собой.

Зафиксируем переменную и проинтегрируем первое уравнение из (8.21) по , получим:

. (8.22)

Здесь мы применили метод вариации произвольной постоянной, так как предположили, что константа зависит от (либо является числом). Продифференцировав (8.22) по переменной и приравняв производную к функции , мы получим уравнение для нахождения неизвестной . Подставив в (8.22), находим функцию такую, что .

Пример 8.4. Решить уравнение

Решение. Здесь функция и .

Проверим условие (8.20): . Следовательно, левая часть заданного уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции . Для ее отыскания проинтегрируем функцию по переменной , считая :

.

Пусть , тогда .Продифференцируем данную функцию по , получим или . Отсюда или , .

Найденное подставляем в функцию , получаем решение заданного ДУ:

Если условие (8.20) не выполняется, то ДУ (8.19) не является уравнением в полных дифференциалах.

Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением его на некоторую функцию , называемую интегрирующим множителем.

Чтобы уравнение было уравнение в полных дифференциалах, должно выполняться условие

. (8.23)

Выполнив дифференцирование и приведя подобные слагаемые, получим:

. Для нахождения надо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить существование как функции только одного аргумента либо только .

6.2. Пусть . Тогда уравнение (8.23) принимает вид: , или . Отсюда

. (8.24)

При этом подынтегральное выражение должно зависеть только от .

6.3. Пусть . Тогда аналогично можно получить

, (8.25)

где подынтегральное выражение должно зависеть только от y.

Пример 8.5. Решить уравнение

Решение. Здесь , то есть . Проверим существование интегрирующего множителя. По формуле (8.24) составляем подынтегральное выражение:

, оно зависит только от переменной .

Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель . В нашем случае он имеет вид . Умножая заданное по условию уравнение на , получаем:

,

то есть уравнение в полных дифференциалах. Решив его аналогично пункту 6.1, найдем, что общий интеграл заданного уравнение имеет вид

7. ДУ, неразрешенные относительно производной

Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно

производной. К ним, в частности относятся уравнения Лагранжа и Клеро, которые вместе образуют достаточно большой класс ДУ, решаемых методом введения параметра .

7.1. Уравнение Лагранжа

Общий вид уравнений , (8.26)

где и – известные функции от . После введения параметра уравнение (8.26) принимает вид

. (8.27)

Дифференцируя его по , получим:

или , то есть

. (8.28)

Уравнение (8.28) есть линейное уравнение относительно неизвестной функции . Решив его, найдем:

. (8.29)

Исключая параметр из уравнений (8.27) и (8.29), получаем общий интеграл уравнения (8.26) в виде .

Замечание. При переходе к уравнению (8.28) мы делили на . При этом могли быть потеряны решения, для которых или . Это означает, что является корнем уравнения (смотри уравнение (8.28)). Тогда решение для уравнения (8.26) является особым

7.2. Уравнение Клеро представляет собой частный случай уравнения Лагранжа при , следовательно, его общий вид . (8.30)

Вводим параметр , после чего уравнение (8.30) записывается

. (8.31)

Дифференцируя данное уравнение по переменной , имеем:

или . Отсюда если , то согласно (8.31), уравнение (8.30) имеет общее решение . (8.32)

Если , то получаем частное решение уравнения в параметрической форме: . (8.33)

Это – особое решение уравнения Клеро, так как оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

Пример 8.6. Решить уравнение Клеро .

Решение. Согласно формуле (8.32) общее решение имеет вид . Особое решение уравнения получим по (8.33) в виде . Отсюда

следует:, то есть

Вопросы для самопроверки.

1.  Какие основные виды ДУ первого порядка нам известны?

2.  Какие ДУ называются однородными первого порядка? Какого вида уравнения к ним приводятся?

3.  Какой вид имеют линейные ДУ первого порядка? Как к ним привести уравнения Бернулли?

4.  Изложите суть двух способов решения линейных ДУ: метода Бернулли и метода Лагранжа.

5.  При каком условии ДУ первого порядка является уравнением в полных дифференциалах? В чем суть решения?

6.  Что такое интегрирующий множитель? В каких случаях он применяется?

7.  Какие ДУ решаются методом введения параметра? В чем суть их решения?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить