Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 Голос)

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядк.

Линейным называется дифференциальное уравнение n-го порядка, если оно 1-ой степени относительно искомой функции и ее производных , то есть имеет вид:

. (8.40)

Если коэффициент , то на него можно поделить и после соответствующих переобозначений получить:

. (8.41)

Уравнение (8.41) называется уравнением с переменными коэффициентами. Предположим, что в нем функции , где, непрерывны на интервале . Тогда для уравнения (8.41) на данном интервале имеет место задача Коши, сформулированная нами ранее.

Замечание. Частным случаем (8.41) является линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с переменными коэффициентами: (8.42)

Если в уравнении (8.41) , то уравнение называется однородным, если , то неоднородным.

Теорема 8.3 (о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ). Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения: . Запишем коротко:

Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (8.41), имеет вид:

. (8.43)

Пусть в уравнении (8.43) функции . Тогда оно принимает вид: (8.44)

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами, где – функции, n раз дифференцируемые.

Рассмотрим решения уравнений (8.43) и (8.44). Обозначим полную совокупность их линейно независимых решений через . Тогда, по свойству решений однородного уравнения, их линейная комбинация также является решением уравнения (8.43) и (8.44), т. е. общее решение может быть записано в виде: , (8.45)

где – константы интегрирования.

Перейдем к конструированию функций . Какого они вида? Так как эти функции в уравнениях (8.43) и (8.44) n раз дифференцируемы, то их конструкция при дифференцировании не меняется. Это возможно в случае экспоненциального вида функций, то есть при , (8.46)

где , . Отсюда, линейная комбинация функций (8.46): (8.47)

также решение уравнений (8.43) и (8.44).

Рассмотрим одну из функций (8.46) – функцию как решение для уравнения (8.44) с постоянными коэффициентами. Продифференцируем ее n раз:

. По определению решения дифференциального уравнения при подстановке и ее производных в (8.44) имеем тождество: . После вынесения общего множителя получаем:

.

Так как , то

– (8.48)

алгебраическое уравнение n-ой степени относительно , называемое характеристическим уравнением для уравнения (8.44). Известно, что уравнение n-ой степени имеет равно n корней как действительных, так и комплексных, с учетом их кратности. Значит, характеристическое уравнение (8.48) дает нам n значений числа , ранее обозначенных нами через , которые при подстановке в (8.47) приводит нас к окончательному виду общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (8.44) с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим наиболее распространенный частный случай уравнения (8.44) – его аналог 2-го порядка:

. (8.49)

Для данного уравнения характеристическое уравнение (8.48) принимает вид:

. (8.50)

Уравнение (8.50) является квадратным относительно . В зависимости от его дискриминанта рассматривают три случая.

1) При корни характеристического уравнения (8.50) – вещественные различные числа (), и общее решение уравнения (8.49) имеет вид: . (8.51)

2) При корни характеристического уравнения (8.50) – вещественные равные числа (), и общее решение уравнения (8.49) имеет вид: . (8.52)

3) При корни характеристического уравнения (8.50) – комплексные сопряженные числа , , и общее решение уравнения (8.49) имеет вид: . (8.53)

Пример 8.10. Найти общее решение уравнений:

а) б)

в) г)

Решение.

а) Составляем характеристическое уравнение . Корнями этого уравнения будут и . Тогда, применяя (8.51), получаем общее решение: .

б) Составляем характеристическое уравнение .

Решая это уравнение, получим . Так как корни равные, то, применяя (8.52), будем иметь: .

в) Характеристическое уравнение имеет комплексные корни:

и . Положив в (8.53) , получим общее решение: .

г) Характеристическое уравнение имеет корни и .

Полагая в (8.53) , получим общее решение:

Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

, (8.54)

являющееся частным случаем уравнения (8.42). Функция может представлять собой функцию специального вида. Тогда общее решение уравнения находится с помощью следующей теоремы.

Теорема 8.4. Пусть задано линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью . (8.55)

1. Если не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, то частное решение уравнения (8.55) имеет вид: , (8.56)

где ; и – многочлены общего вида (с неопределенными коэффициентами).

2. Если – корень характеристического уравнения кратности , то частное решение уравнения (8.55) имеет вид: , (8.57)

где ; и – многочлены общего вида (с неопределенными коэффициентами)

Рассмотрим частные случаи данного уравнения.

Вид правой части

Корни характеристического уравнения

Вид искомого частного решения уч. н.

1)

– не корень

– корень кратности S

2)

– не корень

– корень кратности S

3)

– не корень

– корень кратности S

4)

– не корень

– корень кратности S

5)

– не корень

– корень кратности S

Пример 8.11. Найти общее решение уравнения .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ: . Характеристическое уравнение имеет корень кратности 2. Значит, Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида , причем , не является корнем характеристического уравнения: . Поэтому согласно формуле (8.56), частное решение ищем в виде =, т. е. =где и – неопределенные коэффициенты. Тогда , .

Подставив , и в исходное уравнение, получим или . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений:

Отсюда . Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид . Следовательно, искомое общее решение уравнения

Пример 8.12. Решить уравнение .

Решение. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, .

Находим частное решение . Правая часть неоднородного уравнения в нашем случае имеет вид . Так как не совпадают с корнем характеристического уравнения, то согласно формуле (8.56), частное решение ищем в виде . Дифференцируем частное решение, получаем: , . Подставляя и его производные в исходное уравнение, получаем:

или

.

Отсюда, сравнивая коэффициенты при косинусе и синусе, имеем

Следовательно, . Поэтому . И наконец, с учетом теоремы 8.3 получаем общее решение заданного неоднородного линейного ДУ в виде:

Теорема 8.5 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (8.54) представляет собой сумму двух функций: а и – частные решения уравнений и соответственно, то функция является частным решением данного уравнения

Вопросы для самопроверки.

1.  Какие дифференциальные уравнения называют линейными?

2.  Как они делятся на однородные и неоднородные?

3.  Какова структура общего решения линейного неоднородного ДУ?

4.  Как находится общее решение линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами?

5.  Сформулируйте теорему о нахождении частного решения линейного неоднородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

6.  Сформулируйте теорему о наложении решений неоднородного ДУ.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка - 5.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить