Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 Голос)

Исследование функции с помощью производной

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство ().

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (рис. 25).

Теорема 3.9 (необходимое условия существования точек экстремума). В критических точках 1-го рода производная функции либо

Описание: Экстремумы функцииравна нулю, либо не существует

Критические точки 1-го рода принято называть просто критическими точками.

Описание: Угловая точкаКритические точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками стационарности. Критические точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема называются угловыми точками. Например, функция в точке непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 26). Данный случай можно рассматривать в качестве подтверждения тому, что обратное утверждение к теореме 3.3 является неверным.

Функция называется возрастающей на некотором интервале , если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение переменной , и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение переменной .

Для дальнейшего исследования критические точки помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы, после чего поверяют выполнение следующих достаточных условий.

Теорема 3.10 (достаточное условие возрастания и убывания функции). Если на некотором интервале функция дифференцируема и при этом ее производная положительна (отрицательна), то функция на данном интервале возрастает (убывает)

Теорема 3.11 (достаточное условие существования точек экстремума функции). Если функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой максимума; если с минуса на плюс, то точка является точкой минимума функции

Те критические точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто критическими точками 1-го рода.

Критические точки 1-го рода, в которых производная не существует, делятся на два класса:

– точки, в которых функция непрерывна (при выполнении для них теоремы 3.11 функция в данных точках имеет «острый» экстремум), это угловые точки;

– точки, в которых функция терпит разрыв (всегда переходят в класс критических точек 2-го рода).

Но проведенное таким образом исследование, не дает ответ на очень важный вопрос: как возрастает (убывает) функция – выпукло или вогнуто? Ответ на поставленный вопрос дает дальнейшее исследование функции с помощью второй производной. Дадим ряд необходимых определений.

Описание: Выпуклость, вогнутость,перегиб

Функция называется выпуклой (вогнутой) на некотором интервале , если касательная, проведенная к графику функции в каждой точке этого интервала, лежит выше (ниже) графика функции.

Точки, отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости функции, называются ее точками перегиба (рис. 27).

Теорема 3.12 (необходимое условие существования точек перегиба). В критических точках 2-го рода вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует

Для дальнейшего исследования критические точки 2-го рода помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы, после чего поверяют выполнение следующих достаточных условий.

Теорема 3.13 (достаточное условие выпуклости и вогнутости функции). Если на некотором интервале функция дважды дифференцируема и при этом ее вторая производная положительна (отрицательна), то функция на данном интервале вогнута (выпукла)

Описание: Острый перегибТе критические точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто критическими точками 2-го рода.

Критические точки 2-го рода, в которых вторая производная не существует, делятся на два класса:

– точки, в которых функция непрерывна, это так называемые точки «острого» перегиба – в таких точках к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 28);

– точки, в которых функция терпит разрыв (в точках разрыва 2-го рода график функции имеет вертикальную асимптоту).

Для окончательного перечисления точек экстремума и перегиба функции необходимо найти их ординаты, после чего выписать указанные точки двумя координатами.

Вопросы для самопроверки.

1.  Какие точки называются точками экстремума (максимума и минимума) функции?

2.  Какая функция называется возрастающей (убывающей)?

3.  Каковы необходимое и достаточное условия существования точек экстремума функции?

4.  В чем состоит достаточное условие возрастания (убывания) функции?

5.  Какие точки называются точками перегиба функции?

6.  Какая функция называется выпуклой (вогнутой)?

7.  Каковы необходимое и достаточное условия существования точек перегиба функции?

8.  В чем состоит достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции?

Исследование функции с помощью производной - 5.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить