Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Исследование общего уравнения 2 степени

Мы рассмотрели кривые 2-го порядка (эллипс, окружность, гиперболу, параболу), описываемые общим уравнением второй степени:

. (2.13)

Посмотрим, какие кривые определяются этим уравнением при различных значениях его коэффициентов. Первый, более простой случай, когда (уравнение не содержит произведения переменных).

1) и – одного знака .

Выделим полный квадрат:

или . (2.14)

Выполним параллельный перенос, перенесём начало координат в точку , тогда новые координаты , и в них уравнение (2.13) примет вид: . (2.15)

Здесь – правая часть (2.14).

Если , то из (2.15) следует: . Обозначим , , получим – эллипс. При (или ) – окружность.

Если , то уравнению удовлетворяет только одна точка , , то есть , или точка .

Если , то , так как сумма квадратов не может быть отрицательной. Здесь уравнение (2.15) вырождения в пустое множество, то есть на множестве действительных чисел решения не имеет. Говорят, что уравнение в данном случае определяет мнимый эллипс (окружность).

2) и – разного знака . Пусть для определенности , в противном случае уравнение (2.13) умножают на .

Проведя аналогичные выкладки с выделением полного квадрата в уравнении (2.13), получим аналогичное уравнение , (2.15) или .

Если , то обозначим , , тогда – уравнение гиперболы.

Если , то обозначим , . Уравнение (2.15) примет вид: или . А это гипербола с ветвями вверх или вниз, действительной осью по оси , мнимой – по оси .

Если , то (но ). Обозначим , , тогда . Распадается на два уравнения первой степени и . Каждое из них – это уравнение прямой, проходящей через точку , . Таким образом, уравнение (2.13) определяет пару пересекающихся прямых в точке . Говорят, что кривая выродилась в пару пересекающихся прямых.

3) Рассмотрим случай . Пусть для определенности , . Уравнение (2.13) имеет вид: . Предполагая , , после переобозначений , , , получим – парабола, ветвь которой вверх или вниз.

Если , то – квадратное уравнение, раскладывающееся на множители и .

Если , то и – уравнения двух прямых параллельных оси . При – кривая вырождается в слившуюся прямую, параллельную оси .

Аналогичные случаи вырождения получим при , .

Вывод из вышеизложенных случаев можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 2.1 Общее уравнение второй степени может определять:

либо окружность (при ), либо эллипс (при ), либо гиперболу (при ), либо параболу (при ). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых (одну слившуюся прямую)

Пусть теперь (уравнение (2.13) содержит произведение переменных). Рассмотрим преобразование общего уравнения второй степени. Можно показать, что: 1) при помощи поворота осей координат его всегда можно привести к виду, не содержащему произведение переменных; 2) после этого при помощи произведённого параллельного переноса осей координат уравнение (2.13) будет приведено к каноническому виду, задающему все выше перечисленные кривые или же случаи вырождения.

Поворот плоскости на угол

Описание: Поворот плоскостиПусть даны две системы декартовых координат с одинаковым началом и разными направлениями осей. Пусть – угол между осями и . Обозначим через и координаты точки М соответственно в старой и новой системах, радиус – вектор точки М – через , угол между и – через . Из прямоугольных треугольников (рис. 11):

; .

По формулам косинуса разности и синуса разности имеем:

Мы получили формулы преобразования координат в при повороте осей на угол : . (2.16)

Например, при с помощью формул (2.16) имеем: .

Составим матрицу коэффициентов: . Она называется матрицей поворота. Тогда можно написать матричное уравнение при повороте плоскости на угол :

– координаты точки М в новой системе координат.

При обратном преобразовании осей будет поворот на (– ). Тогда

выражение старых координат точки М через новые.

Получили обратную матрицу для матрицы при обратном преобразовании. Перемножим матрицы и :

Видно, что матрицы, соответствующие поворотам осей на углы и , взаимообратны.

Параллельный перенос осей координат

Пусть даны две системы координат с параллельными осями и разными началами и . Пусть в первоначальной системе координат начало новой системы имеет координаты . Точка в первоначальной системе имеет координаты , в новой (рис. 12).

Спроектируем на ось точки и , получим соответственно точки и : , то есть . Аналогично спроектируем точки и на ось , получим соответственно точки и : , то есть . Таким образом, координаты точки в первоначальной системе координат равны сумме ее координат в новой системе и координат нового начала в первоначальной системе. Если из этих формул выразить новые координаты точки , то получим:

. (2.17) Описание: Параллельный перенос осей Пример 2.5. Привести общее уравнение второй степени к каноническому виду, определить вид кривой и её основные характеристики.

Решение. Для заданного по условию уравнения коэффициенты соотношения (2.13) равны . С помощью системы уравнений (2.16) вычислим угол поворота плоскости , при котором коэффициент при произведении переменных обратится в ноль:

. Примени формулу тангенса двойного аргумента

. Обозначим , тогда последнее равенство принимает вид .

– при повороте плоскости на угол

– при повороте плоскости на угол . Выберем одно из значений.

Пусть , тогда по формуле имеем:

.

По основному тригонометрическому тождеству находим: . Так как тангенс положителен в 1-ой и 3-ей четверти, , то возьмем положительные значения , и подставим их в формулы поворота плоскости (2.16).

. После подстановки этих выражений для и в исходное уравнение, получим:

.

Раскрывая скобки, убедимся, что в результате поворота плоскости на угол , коэффициент при обращается в ноль: .

Оставшиеся сла­гаемые примут вид: .

Выделим полные квадраты для параллельного переноса осей координат:

. Согласно формулам (2.17) осуществим замену:

формулы

После подстановки и деления на 36 уравнение принимает вид или – каноническое уравнение гиперболы. Так как для гиперболы , то ее фокусы расположены в точках и на оси , а эксцентриситет

Вопросы для самопроверки.

1.  Какое уравнение называется общим уравнением второй степени?

2.  Какие кривые может определять общее уравнение второй степени?

3.  Какие случаи вырождения может определять общее уравнение второй степени?

4.  Чем характеризуется поворот плоскости на угол ?

5.  Как вычислить координаты точки при параллельном переносе осей координат?

6.  Как привести общее уравнение второй степени к каноническому виду?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить