Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений

1. Если под интегралом содержатся произведения тригонометрических функций, то применяется одна из следующих формул:

(4.31)

(4.32)

(4.33)

Проинтегрируем данные равенства, получим:

2. Пусть заданный интеграл рационально зависит от тригонометрических функций и , то есть имеет вид . Если при этом известные нам тригонометрические формулы не применимы, то целесообразна так называемая универсальная тригонометрическая подстановка:

;

.

После данной замены интеграл принимает вид:

. (4.34)

3. Пусть заданы интегралы вида .

а). Если показатель степени n – четное число, то есть n=2к, RZ, к≥2, тогда для подынтегральной функции применяют формулы понижения степени:

; (4.35)

б). Если показатель степени n – нечетное число, то есть n=2к+1, RZ, R≥2, тогда от n-ой степени отделяют один множитель и вносят его под знак дифференциала. Функцию, попавшую под знак дифференциала, обозначают новой переменной и всю подынтегральную функцию сводят к ней.

(4.36)

4. Для интегралов типа рассмотрим четыре случая.

а). При n = m

, (4.37)

далее если m ­– число четное, то понижают степень; если m – число нечетное, тогда снова осуществляют внесение множителя под знак дифференциала.

б). При nm, где m, n – четные числа, понижают степень каждого множителя.

в). При nm, где m, n – нечетные числа, рационально от меньшей степени отделить один множитель и внести его под знак дифференциала.

г). При nm, где одно из чисел четное, другое – нечетное, от нечетной степени отделяют один множитель и поступают аналогично случаю 3б).

5. Интегралы вида берутся с помощью замены:

, (4.38)

после чего интегрируют полученную рациональную дробь.

Вопросы для самопроверки.

1.  С помощью каких формул интегрируются произведения тригонометрических функций?

2.  В каких случаях целесообразно применение универсальной тригонометрической подстановки?

3.  Как берутся интегралы типа ?

4.  Какие случаи различаются при интегрировании интегралов типа в зависимости от показателей степени m и n?

5.  Как берутся интегралы вида ?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить