Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (1 Голос)

Дифференцирование функций одной переменной

При дифференцировании различают функции по способу их задания: явные, неявные и параметрические.

Пусть явно задана функция . Функция, зависящая непосредственно от переменной , называется простой. Рассмотрим для простой функции точку , принадлежащую ее области определения. Дадим приращение аргументу в точке . Функция получит при этом соответствующее приращение . (3.8)

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента в точке , когда последнее стремится к нулю, называется производной функции в точке , то есть . (3.9)

Функция, имеющая в точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Производная характеризует скорость изменения функции в достаточно малой окрестности точки .

Приведем таблицу производных основных элементарных функций (без доказательства), которые рассматриваются нами как функции простые и явно заданные.

1.  (3.10)

(3.11) (sin x= cos x (3.12) (cos x= –sin x (3.13) (tg x= (3.14)

6.  (ctg x= (3.15)

(= ln a (3.16) (= (3.17) (3.18) (3.19) (3.20) (3.21) (3.22) (3.23)

Теорема 3.3. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна

Следствие. В точках разрыва функция производной не имеет

Среди явных функций особое место занимают обратные функции, производная которых находится с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.4. Если строго монотонная функция дифференцируема на некотором интервале Х, причем ее производная не обращается в нуль на Х, то обратная к ней функция также дифференцируема на этом интервале, и при этом выполняется: (3.24)

Доказательство. Дадим функции в точке бесконечно малое приращение аргумента , функция при этом получит приращение . Так как по условию теоремы функция дифференцируема в каждой точке интервала Х, то в каждой точке этого интервала функция непрерывна (по теореме 3.3). Следовательно, по определению непрерывности функции выполняется: ,это означает, что при ; .

По определению производной можно записать:

, теорема доказана.

Среди явных функций выделяют класс сложных функций.

Функция называется сложной, если она представляет собой композициюнескольких функций: . Функция называется внешней, а - внутренней функцией, выступающей в качестве независимого переменного.

Теорема 3.5. Чтобы продифференцировать сложную функцию необходимо сначала продифференцировать внешнюю функцию по внутренней, считая внутреннюю функцию независимой переменной, затем продифференцировать внутреннюю функцию по независимо переменному и результаты дифференцирования перемножить, то есть (3.25)

Пример 3.8. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.25) и с учетом табличных формул (3.11), (3.13), (3.23) имеем:

.

К явным функциям можно отнести функции, заданные параметрически, вида: , где t – параметр. Производную такой функции несложно получить: . (3.26)

Пример 3.9. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.26) и с учетом табличных формул (3.12), (3.13) имеем:

Замечание. Функция, заданная в примере 3.9, представляет собой параметрическое уравнение окружности радиуса . Действительно, возведем оба уравнения в квадрат и сложим их почленно, получим:

или

Помимо таблицы производных имеют место правила дифференцирования.

Теорема 3.6. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций: (3.27)

Пример 3.10. Найти производную функции .

Решение. Согласно формулам (3.27) и (3.25) и с учетом табличных формул (3.11), (3.14), (3.17) имеем:

Данная теорема может быть обобщена для произвольного конечного числа функций-слагаемых.

Теорема 3.7. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции-сомножителя на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции–сомножителя, то есть (3.28)

Пример 3.11. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.28) и с учетом табличных формул (3.16), (3.18) имеем:

Теорема 3.8. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, то есть (3.29)

Пример 3.12. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.29) и с учетом табличных формул (3.11), (3.23) имеем:

Функция называется неявно заданной, если она имеет вид . Неявный способ задания к свойствам функции отношения не имеет. В этом случае любое выражение, содержащее переменную , нужно рассматривать как функцию сложную. Следовательно, при нахождении производных неявных функций следует применять теорему о дифференцировании сложной функции. В процессе отыскания все слагаемые, содержащие , оставляют в левой части и выносят из них за скобки как общий множитель. Слагаемые, не содержащие , переносят в правую часть, и полученное уравнение разрешают относительно искомой . При этом производную неявной функции получаем также в неявном виде.

Пример 3.13. Найти производную неявной функции

.

Решение. Согласно формуле (3.25) сложного дифференцирования и (3.28) производной произведения, с учетом табличных формул (3.11) и (3.12) имеем:

Иногда для упрощения процесса дифференцирования громоздких функций применяют их предварительное логарифмирование (логарифмическое дифференцирование). Данный метод целесообразен в тех случаях, когда функция представляет собой произведение и (или) частное различных функций, таких как показательные и степенные выражения (особенно иррациональные). Логарифмическое дифференцирование используется также для нахождения производных показательно-степенных функций, которые без предварительного логарифмирования вообще не дифференцируются. При использовании данного метода в левой части получают производную от натурального логарифма , которая равна . После этого обе части умножают на , при этом в правой части заменяют на заданную по условию функцию.

Пример 3.14. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем заданную функцию .

По свойству логарифма степени имеем: . Согласно формуле (3.25) сложного дифференцирования и (3.28) производной произведения, с учетом табличных формул (3.13) и (3.23) можно записать

.

После домножения обеих частей последнего равенства на окончательно получим:

. Заметим, что без предварительного логарифмирования производную заданной функции найти невозможно, так как нельзя обосновать использование формул дифференцирования (3.11) или (3.16)

Пусть функция дифференцируема в некоторой текущей точке и при этом . Тогда по определению производной и формуле (3.5) можно записать: , где при . Иначе: приращение функции имеет вид . (3.30)

Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения этой функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента: = . (3.31)

Найдем дифференциал независимой переменной , то есть дифференциал функции . Так как , то по формуле (3.31) имеем . Тогда формула (3.31) для вычисления дифференциала функции может быть записана в виде: . (3.32)

Если в формуле (3.30) отбросить бесконечно малую величину , то получим приближенное равенство . Подставляя в это равенство выражения для и из формул (3.8) и (3.31), получим или . (3.33)

Формула (3.33) применяется для вычисления приближенных значений функций.

Пример 3.15. Вычислить приближенно значение .

Решение. Рассмотрим функцию . По формуле (3.33) имеем:

, то есть .

Так как , то при и получаем:

Процесс дифференцирования может быть многократным. Производная от первой производной называется второй производной функции или производной 2-го порядка, в свою очередь производная от которой является производной 3-го порядка и так далее. Производная функции -го порядка – это производная от предыдущей производной -го порядка заданной функции, то есть . (3.34)

Вопросы для самопроверки.

1.  Как различаются функции по способу их задания?

2.  Что называется производной функции в точке?

3.  Как продифференцировать основные элементарные функции?

4.  По каким правилам дифференцируется сумма, произведение и частное двух функций?

5.  Какова связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке?

6.  Как продифференцировать обратную функцию к заданной?

7.  Как продифференцировать сложную функцию?

8.  Как продифференцировать неявную и параметрическую функцию?

9.  В чем заключается суть логарифмического дифференцирования?

10.Что называется дифференциалом функции и как его вычислить?

11.Как применяется дифференциал для вычисления приближенных значений функций?

Дифференцирование функций одной переменной - 5.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить