Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 (5 Голоса)

Действия над векторами

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).

1). Сложение двух векторов производится поэлементно, то есть если , то в координатной форме записывается:

. (2.18)

Данная формула имеет место для произвольного конечного числа слагаемых.

Геометрически два вектора складываются по двум правилам:

а) правило треугольника – результирующий вектор суммы двух соединяет начало первого из них с концом второго; для суммы векторов – результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего вектора–слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего;

б) правило параллелограмма (для двух векторов) – параллелограмм строится на векторах–слагаемых как на сторонах, приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой векторов.

2). Вычитание двух векторов производится поэлементно, аналогично сложению, то есть если , то в координатной форме записывается

. (2.19)

Геометрически два вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

3). Умножение вектора на число покоординатно: .

При – вектор сонаправлен первоначальному;

– вектор противоположно направлен первоначальному;

– длина вектора увеличивается в раз;

– длина вектора уменьшается в раз.

4). Пусть в пространстве задана направленная прямая (ось l), вектор = задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек и на ось соответственно через и .

Проекцией вектора на ось называется длина вектора , взятая со знаком «+», если вектор и ось l сонаправлены, и со знаком «-», если и l противоположно направлены.

Если в качестве оси l взять некоторый другой вектор , то получим проекцию вектора на вектор .

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.

1.  Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть .

2.  Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой.

3.  Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.

Сформулируем определения и теоремы о произведениях векторов, представляющих также операции над векторами.

5). Скалярным произведением векторов на называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть = . (2.20)

Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов, является равенство нулю их скалярного произведения

Теорема 2.3. Скалярное произведение двух векторов , заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений их одноименных координат, то есть

= (2.21)

С помощью скалярного произведения векторов можно вычислить угол между ними. Если заданы два ненулевых вектора своими координатами , то косинус угла между ними:

то есть . (2.22)

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

(2.23)

Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором , может осуществляться по формуле

, то есть . (2.24)

С помощью скалярного произведения векторов находят работу постоянной силы по перемещению материальной точки на вектор .

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения в положение под действием постоянной силы , образующей угол с вектором перемещения (рис. 13).Описание: Работа через скалярное произведение

Из физики известно, что работа силы при перемещении равна , то есть

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пример 2.6. С помощью скалярного произведения векторов найти угол при вершине параллелограмма , построенного на векторах и .

Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение по теореме (2.3):

Отсюда согласно формуле (2.22) получим косинус искомого угла

. Следовательно,

Пример 2.7. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения в положение . Под каким углом к направлена сила ?

Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты начала . По формуле (2.21) (единиц работы).

Угол между и находим по формуле (2.22), то есть

6). Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору совершается против часовой стрелки, и левую, если по часовой стрелке.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

перпендикулярен векторам и ;

Описание:– имеет длину, равную , где – угол, образованный векторами и ;

– векторы , и образуют правую тройку (рис. 14).

Теорема 2.4. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения

Теорема 2.5. Векторное произведение векторов и , заданных своими координатами, равно определителю третьего порядка вида = (2.25)

Замечание. Определитель (2.25) раскладывается по свойству 7 определителей

Следствие. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат

Геометрическая интерпретация векторного произведения состоит в том, что длина результирующего вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах–сомножителях как на сторонах, приведенных к одному началу. Действительно, согласно определению, модуль векторного произведения векторов равен . С другой Описание: Момент силыстороны площадь параллелограмма, построенного на векторах и , также равна . Следовательно, =. (2.26)

Также с помощью векторного произведения можно определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.

Пусть в точке приложена сила и пусть – некоторая точка пространства (рис. 15).

Из физики известно, что моментом силы относительно точки называется вектор , который проходит через точку и:

1.  перпендикулярен плоскости, проходящей через точки ;

2.  численно равен произведению силы на плечо

3.  образует правую тройку с векторами и .

Описание:Следовательно, момент силы относительно точки представляет собой векторное произведение . (2.27)

Линейная скорость точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера , где , где – некоторая неподвижная точка оси (рис. 16).

Пример 2.8. С помощью векторного произведения найти площадь треугольника , построенного на векторах и , приведенных к одному началу.

Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по формуле (2.25).

Согласно формуле (2.26) модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах, приведенных к общему началу, то есть . Тогда площадь треугольника .

Следовательно, искомая площадь равна (единиц площади)

7). Рассмотрим произведение трех векторов , и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а ре­зультирующий вектор скалярно на третий. Такое произведение называется смешанным произведением трех векторов (векторно-скалярным произведением).

Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, является равенство нулю их смешанного произведения

Теорема 2.7. Если три вектора заданы своими координатами, то их смешанное произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из координат векторов– сомножителей соответственно, то есть

(2.28)

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , , и как на сторонах, приведенных к общему началу, численно равен модулю смешенного произведения этих векторов . (2.29)

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен . (2.30)

Пример 2.9. Вершинами пирамиды служат точки . Найти объем пирамиды.

Решение. Найдем координаты векторов , , , где , , . Вычислим смешанное произведение этих векторов:

.

По формуле (2.30) объем пирамиды, построенной на векторах , , равен (единиц объема)

Вопросы для самопроверки.

1.  Какие операции над векторами относятся к линейным?

2.  Что называется скалярным произведением двух векторов? Каковы его основные свойства?

3.  В чем состоит геометрический и физический смысл скалярного произведения векторов, каковы его приложения?

4.  Что называется векторным произведением двух векторов? Каковы его основные свойства?

5.  В чем состоит геометрический и физический смысл векторного произведения векторов, каковы его приложения?

6.  Что называется смешанным произведением трех векторов? Каковы его основные свойства и приложения?

7.  В чем состоит геометрический и физический смысл смешанного произведения векторов?

8.  Каковы приложения смешанного произведения векторов?

Действия над векторами - 5.0 out of 5 based on 5 votes

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить