Конспект лекций
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Введение в анализ

Исследование на непрерывность функции одной переменной (схема 15)

Описание:Если для любого положительного существует такое бесконечно малое положительное , что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется нера-венство то числоназывается пределом функции при , стремящемся к . Данное определение может быть записано на формализован­ном языке:

. (3.1)

Рассмотрим требование определения предела функции по Коши на примере графика функции в декартовой системе координат (рис. 21).

Пусть задана функция , определенная на некотором интервале . Число называется правосторонним пределом этой функции, если в точке выполняется , читается: «при , стремящемся к справа». Число называется левосторонним пределом данной функции в точке , если выполняется , читается: «при , стремящемся к слева».

На рисунке 21 изображены два важных положения:

1) определение предела функции в точке по Коши требует, чтобы –окрестность точки в силу функции отображалось на – окрестность точки ;

2) у данной функции в точке односторонние пределы совпадают, то есть =.

Если функция определена в точке и ее окрестности; имеет предел при ; предел функции в точке равен значению функции в этой точке, то функция называется непрерывной в точке . Данное определение имеет и другую формулировку. Если функция определена в точке и ее окрестности, и при этом выполняется равенство , (3.2)

то функция называется непрерывной в точке .

Если функция непрерывна в каждой точке интервала , то она называется непрерывной на этом интервале. Если интервал совпадает со всей числовой прямой, то функция называется непрерывной на множестве действительных чисел. Если интервал совпадает с областью определения функции, то говорят, что функция непрерывна на всей своей области определения.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале и в точке непрерывна справа (то есть ), и в точке непрерывна слева (то есть ).

Важные свойства непрерывных функций можно сформулировать в виде следующих теорем.

Теорема 3.1 (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке ограничена

Теорема 3.2 (теорема Больцано–Коши). Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой эта функция обращается в ноль:

Пусть функция в точке имеет разрыв. В этом случае, , обозначим . Рассмотрим возможные варианты.

1. – конечное число точка называется точкой разрыва 1-го рода функции , – скачком функции (рис. 22).

2. точка называется точкой разрыва 2-го рода функции – вертикальная асимптота графика функции (рис. 23).

3. При A+ = A – точка называется устранимой точкой разрыва 1- го рода. В этом случае функцию в точке доопределяют.

Особое значение для исследования поведения графика функции имеют ее пределы на бесконечности. Обозначим , .

Если хотя бы одно из чисел конечно, то график функции имеет хотя бы одну горизонтальную асимптоту (рис. 24).

Описание:

Описание:

При этом:

1. = = b y =bодна горизонтальная асимптота графика функции.

2. <∞ у графика функции две горизонтальные асимптоты y= и y= .

Вопросы для самопроверки.

1.  Что называется пределом функции в точке?

2.  Что называют односторонними пределами функции в точке?

3.  Какая функция называется непрерывной в точке, на интервале, на отрезке, на всей своей области определения?

4.  Какие теоремы выражают важнейшие свойства непрерывных функций?

5.  Какова классификация точек разрыва функции?

6.  Каково условие наличия асимптот у графика заданной функции?

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить