Лабораторные работы по информатике
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Лабораторная работа №4 Расчетное моделирование САР в Mathcad

Методические указания

К лабораторной работе

Цель работы.

Цель работы - расчетное построение переходных характеристик САР по передаточной функции для типового воздействия методами:

А) обратного преобразования Лапласа;

Б) решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для разложения передаточной функции с помощью дополнительных переменных.

Моделируемая САР – САР с пропорциональным (П), пропорционально-интегральным (ПИ), пропорционально-дифференциальным (ПД) и пропорционально-интегрально-дифференциальным (ПИД) регуляторами.

Продолжительность работы - 4 часа.

1. Построение передаточных функций САР.

Структурная схема одноконтурной САР может быть представлена в виде, указанном на рис.1.

G(p) – изображение задающего воздействия g(t), X(p) – изображение рассогласования x(t)=g(t)-yoc(t), F(p) – изображение возмущающего воздействия f(t), Y(p) – изображение регулируемой величины, Yoc(p) – изображение сигнала обратной связи yoc(t), W1(p) – передаточная функция исполнительного механизма, W2(p) – передаточная функция объекта регулирования, Woc(p) – передаточная функция обратной связи.

Рис.1. Структурная схема одноконтурной САР.

Задачей САР с ПИД-регулятором является поддержание заданного значения измеряемой (регулируемой) величины. ПИД-регулятор измеряет отклонение стабилизируемой величины от заданного значения (уставки) и выдаёт управляющий сигнал, являющийся суммой трёх слагаемых, первое из которых пропорционально этому отклонению, второе пропорционально интегралу отклонения и третье пропорционально производной отклонения (или, что то же самое, производной измеряемой величины). Условное изображение ПИД-регулятора представлено на рис.2.

файл:pid.png

Рис.2. Схема, иллюстрирующая принцип работы ПИД-регулятора

Если какие-то из составляющих не используются, то регулятор называют: Пропорциональным, пропорционально-интегральным, Пропорционально-дифференциальным,.

Пропорциональная Составляющая. Пропорциональная составляющая вырабатывает выходной сигнал, который стабилизирует отклонение регулируемой величины. Выходной сигнал пропорциональной составляющей тем больше, чем сильнее регулируемая величина отклоняется от уставки. Если входной сигнал равен уставке, то выходной равен нулю.

При использовании пропорционального регулятора значение регулируемой величины никогда не стабилизируется на заданном значении. Существует так называемая статическая ошибка, которая равна такому отклонению регулируемой величины, которое обеспечивает выходной сигнал, стабилизирующий выходную величину именно на этом значении. Например, в регуляторе температуры выходной сигнал (мощность нагревателя) постепенно уменьшается при приближении температуры к уставке, и система стабилизируется при мощности равной тепловым потерям. Температура не может достичь уставки, так как в этом случае мощность нагревателя станет равна нулю, и он начнёт остывать.

Чем больше коэффициент пропорциональности между входным и выходным сигналом (коэффициент усиления), тем меньше статическая ошибка, однако при слишком большом коэффициенте усиления могут начаться автоколебания, а при дальнейшем увеличении коэффициента система может потерять устойчивость.

Интегральная составляющая. Для устранения статической ошибки используют интегральную составляющую. Она позволяет регулятору «учиться» на предыдущем опыте. Если система не испытывает внешних возмущений, то через некоторое время регулируемая величина стабилизируется на заданном значении, сигнал пропорциональной составляющей будет равен нулю, а выходной сигнал будет полностью обеспечивать интегральная составляющая.

Дифференциальная составляющая. Дифференциальная составляющая противодействует предполагаемым отклонениям регулируемой величины, которые могут произойти в будущем. Эти отклонения могут быть вызваны внешними возмущениями или запаздыванием воздействия регулятора на систему. Чем быстрее регулируемая величина отклоняется от уставки, тем сильнее противодействие, создаваемое дифференциальной составляющей.

Выходной сигнал ПИД регулятора u(t) определяется тремя слагаемыми:

u(t) = p + i + d = k_p\,{e(t)} + k_i\int\limits_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} + k_d\frac{de}{dt},

Где Кp, Кi, Кd — коэффициенты усиления пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих регулятора, соответственно.

Большинство методов настройки ПИД-регуляторов используют несколько иную формулу для выходного сигнала, в которой на пропорциональный коэффициент усиления умножены также интегральная и дифференциальная составляющие:

u(t) = k_p\left(\,{e(t)} + k_{i}\int\limits_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} + k_{d}\frac{de}{dt}\right)

Часто в качестве параметров ПИД-регулятора используются:

·  относительный диапазон

p_b = \frac{1}{k_p}

·  постоянные интегрирования и дифференцирования, имеющие размерность времени

t_i = \frac{1}{k_i}

t_d = {k_d}\;

В соответствии с рис.1 и рис.2 схему САР с ПИД-регулятором можно представить в виде, изображенном на рис.3.

Рис.3. САР с ПИД-регулятором.

Для анализа САР предположим, что объект регулирования представляет собой инерционное или апериодическое звено. Каждое звено САР, представленной на рис.3, имеет свое уравнение и передаточную функцию (см. таблицу 1).

Таблица 1 – Уравнения и передаточные функции звеньев САР

П/п

Обозначение на схеме рис.3

Наименование

Уравнение

Передаточная функция

1

Пропорциональное

Y(T)=K2×X(T)

W(P)=K2

2

Интегрирующее

Y(t)=

3

Дифференцирующее

Y(t)=

4

Инерционное

T1+y(t)=k1·х(t)

Примечание: Т1 – постоянная времени инерционного звена; T2 – постоянная интегрирования; T3 – постоянная дифференцирования; k1 – коэффициент усиления инерционного звена; k2 – коэффициент усиления пропорционального звена.

Структурная схема САР и передаточные функции ее звеньев позволяют построить эквивалентную схему и ее передаточную функции в соответствии с правилами, приведенными в таблице 2.

Таблица 2 – Преобразования структурных схем САР

Руководствуясь данными таблицы 1 и правилами таблицы 2, составим передаточные функции П, ПИ, ПД и ПИД регуляторов и соответствующих САР с инерционным объектом регулирования. Выражения для передаточных функций сведем в таблицу 3.

Таблица 3 – Передаточные функции регулятора и САР

П/п

Регулятор

Передаточная функция регулятора

Передаточная функция САР

1

Пропорциональный (П)

W(P)=K2

2

Пропорционально-интегральный (ПИ)

3

Пропорционально-дифференциальный (ПД)

W(P)=K2+P·T3

4

Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД)

Приведенные передаточные функции позволяют получить переходные характеристики САР.

2. Построение переходных характеристик САР обратным преобразованием Лапласа.

Построить переходную характеристику САР для типового (например, скачкообразного или ступенчатого) воздействия можно путем обратного преобразования Лапласа произведения передаточной функции САР на изображение воздействия.

Изображением единичного ступенчатого воздействия (ступенчатого изменения задающего воздействия на 1) является выражение:

.

Тогда реакция САР на это воздействие будет описываться передаточной функцией:

- для пропорционального регулятора:

,

- для пропорционально-интегрального регулятора:

,

- для пропорционально-дифференциалного регулятора:

,

- для пропорционально-интегрально-дифференциалного регулятора:

.

Применив к указанным передаточным функциям обратное преобразование Лапласа, получим выражения переходных характеристик САР для единичного ступенчатого воздействия.

Обратное преобразование можно получить в Mathcad, используя команду меню Symbolics –> Transform -> Inverse Laplaсе. Для выполнения команды следует создать выражение передаточной функции, выбрать курсором переменную р и выполнить команду меню.

На рис.4 приведен пошаговый пример получения переходной характеристики для САР с П-регулятором:

1) построение выражения для передаточной функции, выбор переменной р и выполнение команды Symbolics –> Transform -> Inverse Laplaсе;

2) результат выполнения команды Symbolics –> Transform -> Inverse Laplaсе;

3) построение выражения для переходной характеристики (функция Y1(t)).

Рис.4. Порядок получения переходной характеристики

По результатам построения переходных характеристик можно получить их реализации для различных значений параметров звеньев САР (постоянных Т1, Т2, Т3, k1, k2). Для этого следует задаться численными значениями постоянных, задать промежуток времени наблюдения переходного процесса САР и построить графики изменения функций Y(t) (см. пример на рис.5).

Y(t) – единичное ступенчатое воздействие; Y1(t) – САР с П-регулятором; Y2(t) – САР с ПИ-регулятором; Y3(t) – САР с ПД-регулятором; Y4(t) – САР с ПИД-регулятором;

Рис.5. Графики переходных процессов САР

3. Построение переходных характеристик САР решением системы ОДУ для разложения передаточной функции с помощью дополнительных переменных.

Построить переходную характеристику САР для типового (например, скачкообразного или ступенчатого) воздействия можно решением системы ОДУ для разложения передаточной функции с помощью дополнительных переменных.

Для реализации этого метода передаточная функция САР должна быть представлена в виде отношения полиномов для переменной Р:

,

Где X(p) – изображение входного воздействия; Y(p) – изображение выходного сигнала; m – порядок полинома числителя W(p); n – порядок полинома знаменателя W(p); ai×- коэффициенты полинома числителя при i=0, 1, .., m; bi×- коэффициенты полинома знаменателя при i=0, 1, .., n. У практически реализуемых элементов n ³ m.

Число интегрирующих элементов (интеграторов) равно порядку полинома числителя и определяет порядок системы (количество дифференциальных уравнений). При этом система уравнений модели W(p) в операторной форме в общем случае имеет вид:

Здесь используются дополнительные переменные состояния Zi, описывающие выходные сигналы интеграторов. Их общее число равно порядку знаменателя и определяет число обыкновенных дифференциальных уравнений системы.

Пример.

Например, для передаточной функции вида:

Вводятся обозначения: a0 = 1; a1 = 0.1;a3 = 0.01; b0 = 2; b1 = 0.01; b2 = 0.01; b3=0.001; b4=0.0001.

По структурной схеме и на основе системы составляется система дифференциальных уравнений САР:

В системе y(t) – функция времени регулируемой величины, то есть временная зависимость реакции САР на воздействие; х(t) – функция времени задающего воздействия; zi(t) – функции времени дополнительных переменных состояния Zi.

Численное решение системы дифференциальных уравнений позволяют получить функции Mathcad, реализующие, например, метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности (см. Приложение).

Рассмотрим порядок использования функции Rkadapt() для численного решения системы ОДУ описываемой в примере САР.

Для использования функции Rkadapt() необходимо выполнить следующие шаги, которые проиллюстрируем с помощью рассматриваемого примера передаточной функции.

1. Задать функцию х(t). Например, для единичного ступенчатого воздействия х(t)=1.

*

2. Создать вектор системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Задать начальные значения вектора системы.

4. Задать временной интервал наблюдения решения и количество расчетных точек наблюдения решения.

5. Создать выражение с функцией Rkadapt().

6. Результат решения – матрица, содержащая численные значения компонент решения y(t).

Столбец матрицы Yn,0 содержит значения текущего времени наблюдаемого переходного процесса.

Представим передаточные функции рассматриваемой САР с П, ПИ, ПД и ПИД регуляторами в виде отношения полиномов. Результаты представления сведем в таблицу 4.

Таблица 4 – Преобразование передаточных функций САР

П/п

Регу-лятор

Исходная передаточная функция САР

Преобразованная передаточная функция САР

1

П

2

ПИ

3

ПД

4

ПИД

Преобразованные к виду отношения полиномов передаточные функции САР позволяют рассчитать переходные характеристики САР, используя функцию Rkadapt() Mathcad.

4. Порядок выполнения работы.

В соответствии с полученным вариантом задания (см. таблицу 5) выполнить следующие работы.

1). Построить переходные характеристики САР с П, ПИ, ПД и ПИД регуляторами, используя операцию обратного преобразования Лапласа. Для построения использовать передаточные функции и методику п.2.

Результат расчета представить графически (см. рис.5).

2). Построить переходные характеристики САР с П, ПИ, ПД и ПИД регуляторами, используя функцию Rkadapt() Mathcad. Для построения использовать передаточные функции и методику п.3.

Результат расчета представить графически.

Сравнить результаты расчета по п.1 и 2.

3). По графикам переходных характеристик определить показатели качества процесса регулирования:

-  время регулирования,

-  величину перерегулирования,

-  число колебаний за время регулирования,

-  период колебаний.

Таблица 5 – Варианты задания коэффициентов передаточной функции САР

Вариант

K1

T1

K2

T2

T3

1

1

1

1

0.1

1

2

1

1

1

0.2

1

3

1

1

1

0.3

1

4

1

1

1

0.4

1

5

1

1

1

0.5

1

6

1

1

1

0.6

1

7

1

1

1

0.7

1

8

1

1

1

0.8

1

9

1

1

1

0.9

1

10

1

1

1

1

1

5. Содержание отчета

1. Наименование работы.

2. Цель работы.

3. Задание на работу.

4. Вывод передаточных функций САР с П, ПИ, ПД, ПИД регуляторами для объекта регулирования – инерционного звена.

5. Порядок получения переходной характеристики САР с использованием обратного преобразования Лапласа.

6. Порядок получения переходной характеристики САР с использованием функции Mathcad Rkadapt().

7. Графики переходных процессов САР для полученного варианта задания.

8. Количественные оценки показателей качества процесса регулирования.

6. Контрольные вопросы

1. Свойства пропорционального звена.

2. Свойство интегрирующего звена.

3. Свойства дифференцирующего звена.

4. Свойства инерционного звена.

4. Что такое обратная связь?

5. Что такое передаточная функция?

6. Что такое переходная характеристика?

7. Понятие о прямом и обратном преобразовании Лапласа, его свойства.

8. Порядок реализации прямого и обратного преобразования Лапласа в Mathcad.

9. Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение?

10. Порядок использования функций численного решения ОДУ в Mathcad.

11. Перечислите показатели качества САР.

7. Пример выполнения этапов работы для САР с ПИД регулятором.

Обратное преобразование Лапласа:

Графическое представление переходного процесса САР:

Решение системы ОДУ для разложения передаточной функции с помощью дополнительных переменных:

Графическое представление переходного процесса САР:

Показатели качества процесса регулирования:

-  время регулирования – 20с,

-  величина перерегулирования – 0,45,

-  число колебаний за время регулирования - 2,

-  период колебаний – 10с.

Литература.

1 Дьяконов В. П. Справочник по MathCAD PLUS 7.0 PRO - М.: СК Пресс, 1998 - 352 с.

2 Дьяконов В. П. MATHCAD 8/2000: Специальный справочник – СПб.: Издательство «Питер», 2000 – 592 с.

3 Кудрявцев Е. М. Mathcad 8. – М.: ДМК, 2000 – 320 с.

4 Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. - Мн.: ДизайнПРО, 1997. -640 с.

5 Трофимов А. И., Егупов Н. Д., Дмитриев А. Н. Методы теории автоматического управления, ориентированные на применение ЭВМ. Линейные стационарные и нестационарные модели: Учебник для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1997. - 656 с.

6. www. cdo. bru. mogilev. by

Приложение

Функции численного интегрирования дифференциальных уравнений

Для решения векторной формы системы обыкновенных дифференциальных уравнений в виде векторной функции F используются функции:

-  rkadapt(y0,tн, tк, acc, n,F, k,s) – численное интегрирование матрицы переменных состояния на интервале времени от tн до tк с числом шагов n с максимальным числом промежуточных точек решения k и минимально допустимым интервалом между точками s с помощью адаптированного метода Рунге-Кутта с переменным шагом, погрешностью acc и начальными условиями в векторе y0;

-  Rkadapt(y0,tн, tк, n,F) – численное интегрирование матрицы переменных состояния на интервале времени от tн до tк с числом шагов n с помощью адаптированного метода Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе y0;

-  rkfixed(y0,tн, tк, n,F) – численное интегрирование матрицы переменных состояния на интервале времени от tн до tк с числом шагов n с помощью метода Рунге-Кутта с постоянным шагом и начальными условиями в векторе y0;

-  Bulstoer(y0,tн, tк, n,F) – численное интегрирование матрицы переменных состояния на интервале времени от tн до tк с числом шагов n с помощью метода Булирша-Штера с начальными условиями в векторе y0.

Для решения “жестких” систем дифференциальных уравнений в MathCAD используются функции:

-  bulstoer(y0,tн, tк, acc, n,F, k,s) – численное интегрирование матрицы переменных состояния на интервале времени от tн до tк с числом шагов n с помощью метода Булирша-Штера с переменным шагом, погрешностью acc и начальными условиями в векторе y0;

-  Stiffb(y0,tн, tк, n,F, J) – численное интегрирование матрицы жесткой системы уравнений на интервале времени от tн до tк с числом шагов n с помощью метода Булирша-Штера с переменным шагом и начальными условиями в векторе y0 для матрицы якобиана J.

-  stiffb(y0,tн, tк, acc, n,F, J,k, s) – численное интегрирование матрицы жесткой системы уравнений на интервале времени от tн до tк с числом шагов n с помощью метода Булирша-Штера с максимальным числом промежуточных точек решения k, минимально допустимым интервалом между точками s переменным шагом, точностью acc и начальными условиями в векторе y0 для матрицы якобиана J;

-  Stiffr(y0,tн, tк, n,F, J) – численное интегрирование матрицы жесткой системы уравнений на интервале времени от tн до tк с числом шагов n с помощью метода Розенброка с переменным шагом и начальными условиями в векторе y0 для матрицы якобиана J.

-  stiffr(y0,tн, tк, acc, n,F, J,k, s) – численное интегрирование матрицы жесткой системы уравнений на интервале времени от tн до tк с числом шагов n с помощью метода Розенброка с максимальным числом промежуточных точек решения k, минимально допустимым интервалом между точками s переменным шагом, точностью acc и начальными условиями в векторе y0 для матрицы якобиана J.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

По темам:

История Украины

Культурология

Высшая математика

Информатика

Охотоведение

Статистика

География

Военная наука

Английский язык

Генетика

Разное

Технологиеские темы

Украинский язык

Филология

Философия

Химия

Экология

Социология

Физическое воспитание

Растениевосдство

Педагогика

История

Психология

Религиоведение

Плодоводство

Экономические темы

Бухгалтерские темы

Маркетинг

Иностранные языки

Ветеринарная медицина

Технические темы

Землеустройство

Медицинские темы

Творчество

Лесное и парковое хозяйство