Статьи по экономическим темам
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

Про застосування інструментальних змінних для визначення параметрів загальної лінійної моделі

В. О. КУТОВИЙ, канд. фіз.-мат. наук, Київський національний економічний університет

У регресійних економетричних моделях, реалізованих на основі методу найменших квадратів (МНК), припускається, що пояснюючі змінні є нестохастичними. Часто це припущення є нереалістичним, і тому важливо знати, до яких наслідків приведуть більш слабкі модельні припущення. Відомо [1], що за деяких ситуацій можна продовжувати використовувати МНК, але за інших МНК призводить до зміщених і неспроможних (необґрунтованих) оцінок. Тоді застосовуються інші методи оцінювання, що базуються, зокрема, на застосуванні інструментальних змінних і дають змогу отримувати оцінки з більш точними властивостями. Але ми можемо при цьому опинитися в ситуації, що застосовуємо метод інструментальних змінних, тоді як правильні основні припущення теореми Гауса—Маркова. Постає питання: якими властивостями характеризуються при цьому оцінки і як знаходити потрібні інструментальні змінні? Це питання й розглянемо нижче.

Нехай маємо лінійну модель залежності виду

Y = b1 x1 + b2 x2 + ... +bm xm + e, (1)

де e — випадкова величина — сумарний вплив неврахованих факторів. Результати спостережень — у1, у2, …, уn запишемо у формі вектор-стовпчика Y, а значення пояснюючих змінних x1, x2,…, xm — у вигляді матриці Х. Тоді залежність (1) у матричній формі запишеться у вигляді

, (2)

де

; ; ; .

Тобто

Припустимо, що мають місце класичні гіпотези [1]:

1) ; (3)

2) , Е — одинична матриця; (4)

3) Х — множина фіксованих чисел;

4) матриця Х — повного рангу, тобто rangX = m;

5) ei — розподілено за нормальним законом розподілу (i = 1, 2,…, n).

Нехай z1, z2, ..., zm — довільні, n-мірні вектори:

, .

Позначимо z = (z1, z2, ..., zm). Вважатимемо, що матриця Z така, що існує (Z¢X)-1, тобто матриця Z¢X — невироджена. Розглянемо залишок e = Y – X , де — визначимо умовою ортогональ-
ності e до z1, z2,..., zm. У матричній формі ці умови можна записати у вигляді

,

де Z¢матриця, транспонована до Z.

Якщо det (Z¢X) ¹ 0, то однозначно визначається і рівна

(5)

Очевидно, і в силу (3) тобто — незміщена лінійна оцінка b, причому коваріаційна матриця

(6)

Лема 1.

є незміщеною оцінкою s2 тоді і тільки тоді, коли матриця
X(Z¢X)– 1Z¢ симетрична.

Доведення. Використовуючи (2), (5), отримаємо

E = Y – X = Xb + e – X (Z¢ X) –1 Z¢ Y =

= Xb + e + X (Z¢ X) –1 Z¢ (Xb + e) = e + X (Z¢ X) –1 Z¢ e =

= (E + X (Z¢ X) –1 Z¢) e.

Позначимо E + X (Z¢X)-1 Z¢ = B.

Матриця B — ідемпотентна (B = B2), бо

(X (Z¢ X)-1 Z¢)(X (Z¢ X) -1 Z¢) = X (Z¢ X)-1 Z¢.

Розглянемо M(e¢e) = M(e¢B¢Be) = s2 sp(B¢B) [2].

Але sp(B¢B) £ å li2(B) = nm [3], li (B) — власні числа матриці B, причому знак рівності має місце тільки в тому випадку, коли B¢B = BB¢, тобто коли матриця B — нормальна. Але при цьому матриця B — ідемпотентна, тому згідно з [4] умова нормальності еквівалентна умові симетричності B. Отже, умова B = B¢ необхідна і достатня для того, щоб

M (e¢e) = s2(n – m).

Лему доведено. Надалі скрізь будемо вимагати B¢ = B.

 

Лема 2. Якщо B¢ = B, то e і незалежні.

Доведення. Оскільки e і — лінійні функції від нормально розподілених величин, то вони також розподілені нормально. Досить показати, що їх коваріації рівні нулю.

M (e (b)¢) = M (E – X (Z¢X)-1 Z¢) ee¢ Z(X¢Z)-1 =

= s 2 (Z (X¢Z)-1 – X (Z¢X)-1 Z¢Z (X¢Z)-1).

Але

X (Z¢X)-1 Z¢ = Z (X¢Z)-1 X¢,

тому

M (e (b)¢) = s2 (Z (X¢Z)-1 – Z (X¢Z)-1 X¢Z (X¢Z)-1) =
= s 2 (Z (X¢Z)-1 – Z (X¢Z)-1) = 0.

Лему доведено.

Наслідок 1. Для будь-якої нестохастичної матриці L вектори e і L (– b) — незалежні.

Теорема 1. При умові, що X(Z¢X)-1Z¢симетрична матриця, випадкова величина

має розподіл Xi2 з (n – m) степенями свободи.

Доведення. Оскільки E – B = X (Z¢X)-1 Z¢ — симетрична матриця, то існує така ортогональна матриця Q, що Q¢BQ = En – m. Оскільки

sp (Q¢(E – B) Q) = sp((E – B) QQ¢) = sp (E – B) =

= sp (X (Z¢X)-1Z¢) = sp ((Z¢X)-1Z¢X) = m,

то En – m — діагональна матриця з n – m одиницями і m-нулями на діагоналі. Нехай e = Qu. Оскільки Q — ортогональна матриця, то u — нормально розподілені й M(uu¢) = s2E. Тоді

.

Враховуючи, що M(uu¢) = s2E, отримаємо, що (Y – X) / (YX).

Маємо розподіл Xi2 з (n – m) степенями свободи. Теорему доведено.

Нехай D = (X¢Z)(Z¢Z)-1 (Z¢X). Тоді D — симетрична додатньо-визначена матриця, для якої існує така симетрична K, що K × K = D. Позначимо K = D 1/2.

Теорема 2. Координати вектора l = D1/2(b)нормально розподілені, незалежні з математичним сподіванням 0 і диспер-
сією s2.

Доведення.

M (ll¢) = M (D1/2(b) (b)¢D1/2) =

= M (D 1/2 (Z¢ X)-1Z¢ee¢ Z (X¢ Z) -1 D1/2) =

= s2(D 1/2 (Z¢ X)-1Z¢ Z¢ (X¢Z)-1 D1/2) = s2(D 1/2 D –1 D 1/2) = s2E.

Теорему доведено.

Враховуючи теореми 1, 2 і наслідок 1, отримаємо

Наслідок 2. Випадкова величина

розподілена по закону Фішера з m, n – m степенями свободи.

Наслідок 3. Нехай cii — діагональний елемент матриці

(Z¢X)-1Z¢Z (X¢Z)-1.

Тоді з (6), леми 2 і теорем 1, 2 отримаємо, що випадкова величина

розподілена за законом Стьюдента з (n – m) степенями свободи.

Підсумовуючи, робимо висновок, що при виконанні класичних гіпотез 1—5 і умов леми 1 в методі інструментальних змінних зберігаються основні властивості оцінок, які декларуються в методі МНК. При цьому можлива перевірка гіпотез з тими самими критеріями, що і в МНК, але з меншими потужностями критеріїв. Якщо ж лінійна оболонка стовпчиків матриці Z збігається з лінійною оболонкою стовпчиків матриці Х (Z = XC, det C ¹ 0), то оцінки методу інструментальних змінних так само ефективні, як це гарантується теоремою Гауса—Маркова в МНК, і тим самим МНК є частинним випадком методу інструментальних змінних.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: Статистика, 1980. — 444 с.

2. Худсон Д. Статистика для физиков. — М.: Мир, 1970. — 296 с.

3. Weyl H. Inequalities between the two hinds of eigenvalues of a linear transformation. Proc. Nat. Acad. Sci., 35 (1949). — 408—411 p.

4. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: ФМ, 1962. — 262 с.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Google