Статьи по экономическим темам
  • Регистрация
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голоса)

УЗАГАЛЬНЕНЕ ЛОГІСТИЧНЕ ВІДОБРАЖЕННЯ І МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІЧНОГО ЗРОСТАННЯ.

Під узагальненим логістичним відображенням (УЛВ) у цій роботі розуміється одновимірне ітераційне відображення, що у самому загальному випадку має вигляд:

, де . (1)

З (1) видно, що УЛВ залежить від чотирьох параметрів: a, b, g і l. Автором були досліджені основні властивості УЛВ і доведено, що при позитивних значеннях параметрів це відображення має максимум квадратичного типу [1], отже, його поведінка задовольняє усім висновкам теорії універсальності Фейгенбаума. Однією з основних властивостей УЛВ, таким чином, є перехід від порядку до хаосу через біфуркації подвоєння періоду при гладкій зміні параметра l.

Розглянемо макроекономічну модель економічного зростання Солоу, що пов’язує заощадження, нагромадження капіталу й економічне зростання. Ця модель будується на основі виробничої функції Кобба-Дугласа

, (2)

у який усі змінні виражені в питомому вигляді — на душу населення:

. (3)

Підстановка (3) у (2) дає вираження для виробничої функції у вигляді:

. (4)

У моделі Солоу передбачається, що економіка закрита, тобто відсутні імпорт і експорт, у цьому випадку загальний обсяг інвестицій I дорівнює сумарному обсягу заощаджень S:

. (5)

Нехай середній рівень амортизації дорівнює d, тоді зміна загального обсягу капіталу (виробничих фондів) дорівнюватиме інвестиціям мінус амортизація:

. (6)

Нехай заощадження, а отже, й інвестиції становлять деяку частину загального випуску продукції:

, (7)

тоді

, (8)

чи в питомому вигляді на душу населення:

. (9)

Якщо швидкість зростання населення постійна і дорівнює n, і швидкість росту робочої сили дорівнює швидкості росту населення, то, як показано в [2], одержуємо основне рівняння моделі економічного росту Солоу у вигляді:

. (10)

Підставляючи в (10) питомий випуск, що задається (4), одержуємо:

, (11)

тобто зміна капіталу залежить від його поточного значення.

Традиційно в макроекономіці розглядається випадок довгострокової рівноваги, тобто DK = 0. У цій роботі пропонується досліджувати динаміку капіталу залежно від значень параметрів моделі. Нехай капітал у період t дорівнює kt, тоді

. (12)

Підставляючи (12) у (11) і виконуючи необхідні перетворення, одержуємо ітераційне рівняння вигляду:

, (13)

яке після заміни змінних

(14)

приводиться до вигляду

, (15)

де l = n + d+ 1 ³ 1.

З (15) видно, що ітераційне рівняння, що описує зміну капіталу в моделі економічного зростання, є окремим випадком узагальненого логістичного відображення і може виявляти різні типи динаміки. Тип динаміки капіталу залежить від темпу зростан­ня населення, рівня амортизації і параметра a, що характеризує виробничий процес, і не залежить від параметра, що характеризує частку заощаджень.

Визначити значення параметра a для економіки України можна методами регресійного аналізу на основі статистичних даних. Його значення лежить у проміжку від 0 до 1. За даними деяких дослідників [3], для України a » 0,8, це значення збігається зі значенням параметра, отриманим для сучасної економіки Росії; можна вважати, що таке значення параметра характерно для перехідних економік. Слід зазначити, що для економіки США першої половини ХХ століття було характерне значення a » 0,25. На рис. 1 і 2 показано вигляд функції правої частини рівняння (15) для відповідних значень параметрів.

Рис. 1. Функція зміни капіталу, характерна
для сучасної економіки України (a = 0,8; l = 1,2)

Рис. 2. Функція зміни капіталу для значень параметрів a = 0,25; l = 1,2 характеризує економіку США першої половини ХХ століття

Досліджувати залежність типу динаміки капіталу від значення параметра l можна шляхом побудови біфуркаційної діаграми для відображення (15) по цьому параметру. На рис. 3 і 4 зображені біфуркаційні діаграми для значень a = 0,8 і a = 0,25 відповідно.

Аналіз біфуркаційних діаграм засвідчує, що, хоча сценарій переходу від порядку до хаосу однаковий в обох випадках, але дуже істотно відрізняється значення параметра l1, при якому відбувається перша біфуркація й одна стійка точка рівноваги перетворюється на цикл періоду 2. Так для значення a = 0,8, характер­ного для економіки України, l1 » 9, а для a = 0,25, що характеризували економіку США першої половини ХХ сторіччя, l1 » 1,657, причому l1 » 2 вже спостерігається цикл порядку 4, що відповідає чотирирічному циклу ділової активності.

Рис. 3. Біфуркаційна діаграма відображення (15) при a = 0,8

Рис. 4. Біфуркаційна діаграма відображення (15) при a = 0,25

Якщо врахувати, що темп зростання населення України близький до нуля, причому може приймати негативні значення, а середній рівень амортизації близький до 0,2, то значення параметра l не перевищує 1,2, що дуже далеко від значення l1 » 9. Можна зробити висновок, що на підвищення рівноважного значення капіталу, а також на зміну типу динаміки впливає в основному значення параметра a.

Модель Солоу може бути розширена за рахунок введення ще одного параметра — темпу зростання технологічного прогресу g [4]. Якщо цей темп постійний, то одержимо, що l = n + g + d + 1, тобто збільшення значення параметра l можна досягти як за рахунок збільшення норми амортизації, так і за рахунок прискорення темпів науково-технічного прогресу. Однак варто зробити висновок, що для економіки України визначальним параметром і в цьому випадку залишається параметр виробничої функції a, тобто на тип динаміки зміни капіталу впливає в основному спосіб виробництва, що сформувався на цей час.

Насамкінець хотілося б відзначити, що вперше виявлено можливість біфуркації в настільки простій класичній моделі економічного зростання. Раніше можливість виникнення біфуркації розглядалася В. Б. Зангом [5] у моделі економічного зростання, що враховує поділ трудових ресурсів на працівників розумової і фізичної праці й припускає, що для процесу виробництва необхідні три ресурси — капітал, знання і фізична праця. Однак через складність моделі Зангу не вдалося виділити узагальнений параметр, що визначає тип динаміки системи.

Ще один важливий наслідок зведення моделі економічного зростання Солоу до узагальненого логістичного відображення полягає в наступному. Сучасна економічна теорія розвиває окремо два напрями — теорію економічного зростання і теорію циклів ділової активності. Автором показано, що ці економічні процеси можуть бути описані в рамках однієї математичної моделі.

Література

1. Сергеева Л. Н. Исследование обобщенного логистического отображения и его применение в моделировании экономических процессов // Экономическая кибернетика. — 2002. — № 1—2.

2. Присняков В. Ф. Нестационарная макроэкономика: Учеб. пособие. — Донецк, 2000. — 209 с.

3. Апатова Н. В., Федоров В. К. Прогнозирование развития экономики с помощью имитационной модели // Ученые записки СГУ. — 1998. — Вып. 6. — http://www. crimea. edu/internet/Education/notes/
notes6/n06030.html

4. Шагас Н. Л., Туманова Е. А. Макроэкономика: долгосрочный аспект. — М.: Экономический факультет МГУ, ТЭИС, 1999. — 122 с.

5. Занг В. Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории / Пер. с англ. — М.: Мир, 1999. — 335 с.

Л. Н. Сергєєва, канд. фіз.-мат. наук, докторант Запорізький державний університет.

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить